№ 449 Геометрія = № 38.33 Математика
Умова:
У трикутнику два кути дорівнюють 46° і 64°. Знайдіть кут між прямими, на яких лежать бісектриси цих кутів.
Розв'язок:
Нехай у ΔABC ∠A = 46°, ∠C = 64°, AP — бісектриса ∠A, СК — бісектриса ∠C. Розглянемо ΔAOC.
Оскільки AP — бісектриса ∠A, то ∠OAC = $\frac{46°}{2}$ = 23°.
Оскільки СК — бісектриса ∠C, то ∠OCA = $\frac{64°}{2}$ = 32°.
Отже, за теоремою про суму кутів трикутника маємо:
∠AOC + ∠OAC + ∠OCA = 180°.
Звідси ∠AOC = 180° – (∠OAC + ∠OCA) = 180° – (23° + 32°) = 180° – 55° = 125°.
Оскільки кут між прямими не перевищує 90°, то кутом між прямими, на яких лежать бісектриси кутів A і C, буде кут, суміжний з кутом AOC.
Отже, цей кут дорівнює 180° – 125° = 55°.
Відповідь:
55°.