№ 393 Геометрія = № 30.22 Математика
Доведіть. що коли медіана трикутника є його бісектрисою, то трикутник - рівнобедрений.
Розв'язок:
Нехай в ΔABC CN – медіана і бісектриса.
Продовжимо медіану CN так, щоб NK = CN. Проведемо відрізки КА і КВ.
Розглянемо ΔCNB і ΔKNA. CN = KN (за побудовою), NB = NA (за умовою). ∠ANK = ∠BNC (як вертикальні), отже, ΔCNB = ΔKNA за двома сторонами і кутом між ними. У рівних трикутників рівні відповідні кути і сторони, тож ∠NCB = ∠NKA, CB = KA.
Оскільки CN – бісектриса, то ∠ACN = ∠NCB = ∠NKA, тобто в ΔCAK ∠ACK = ∠AKC. Тому ΔCAK – рівнобедрений (за ознакою рівнобедреного трикутника) і AC = AK.
Отже, AC = AK = CB, тобто ΔABC – рівнобедрений.