№ 365 Геометрія = № 29.22 Математика
Сторони рівностороннього трикутника АВС продовжено на рівні відрізки АК, BL і СМ. Доведіть, що ∆KLM - рівносторонній.
Розв'язок:
Розглянемо ΔLCM і ΔMAK. CM = AK (за умовою),
LC = LB + BC, MA = MC + AC,
отже, LC = MA, оскільки LB = MC за умовою,
BC = AC — як сторони рівностороннього ΔABC.
∠LCM = ∠MAK — як кути, суміжні з рівними кутами ACB і CAB рівностороннього трикутника.
ΔLCM = ΔMAK за двома сторонами і кутом між ними.
Звідси LM = KM.
Аналогічно з рівності ΔMAK та ΔKBL отримаємо KM = KL.
Маємо LM = KM = KL.
Отже, ΔKLM — рівносторонній.