Завдання № 67

№ 67 ЗПС Алгебра = № 67 ЗПС Математика

Умова:

Якщо довжину прямокутника збільшити на 3 см, а ширину — на 2 см, то його площа збільшиться на 37 см². Якщо кожну сторону прямокутника зменшити на 1 см, то його площа зменшиться на 12 см². Знайдіть периметр прямокутника.

Розв'язок:

Нехай початкова довжина прямокутника дорівнює х см, ширина — y см, тоді площа — ху (см²). Після першої зміни розмірів довжина прямокутника дорівнюватиме (х + 3) см, ширина — (у + 2) см, а площа — (х + 3)(у + 2) (см²).
Перше рівняння:
(х + 3)(y + 2) – xу = 37;
xy + 2х + 3y + 6 – хy = 37;
2х + 3y = 31.
Після другої зміни розмірів довжина прямокутника дорівнюватиме (х – 1)см, ширина — (у – 1)см, а площа — (х – 1)(y – 1)(см²).
Друге рівняння:
ху – (х – 1)(у – 1) = 12;
ху –ху + х + у – 1 = 12;
х + y = 13.
Система:
$\begin{cases} 2x + 3y = 31, \\ x + y = 13 | \cdot (–2); \end{cases}$
$\begin{cases} 2x + 3y = 31, \\ –2x – 2y = –26; \end{cases}$ y = 5.
З першого рівняння системи отримаємо:
2х + 15 = 31;
2х = 16;
х = 8.
Периметр початкового прямокутника дорівнює: 2 ∙ (8 + 5) = 26 (см). 

Відповідь:

26 см.