№ 59 ЗПС Алгебра = № 59 ЗПС Математика
Умова:
Розв'яжіть рівняння з двома змінними:
1) (x – 2)2 + (3x – y)2 = 0;
2) (2x – y)2 + x2 + 8x + 16 = 0;
3) (7x + y – 3)2 + x2 + 2xy + y2 = 0;
4) |x – y + 5| + x2 – 4xy + 4y2 = 0;
5) x2 + y2 – 4x + 2y + 5 = 0;
6) x2 – 2xy + 2y2 + 6y + 9 = 0.
Розв'язок:
1) (x − 2)2 + (3x − y)2 = 0. Сума квадратів двох виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю. Отже, розв'язком даного рівняння є розв'язок системи:
$\begin{cases} x – 2 = 0, \\ 3x – y = 0; \end{cases}$ $\begin{cases} x = 2, \\ y = 6. \end{cases}$
Розв'язком системи і рівняння є пара чисел (2; 6).
2) (2x − y)2 + x2 + 8x + 16 = 0;
(2x − y)2 + (x + 4)2 = 0.
Сума квадратів двох виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю. Отже, розв'язком даного рівняння є розв'язок системи:
$\begin{cases} 2x – y = 0, \\ x + 4 = 0; \end{cases}$ $\begin{cases} x = –4, \\ y = –8. \end{cases}$
Розв'язком системи і рівняння є пара чисел (−4; −8).
3) (1x + y − 3)2 + x2 + 2xy + y2 = 0;
(7x + y − 3)2 + (x + y)2 = 0.
Сума квадратів двох виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю. Отже, розв'язком даного рівняння є розв'язок системи:
$\begin{cases} 7x + y − 3 = 0, \\ x + y = 0; \end{cases}$ $\begin{cases} −7y + y − 3 = 0, \\ x = −y; \end{cases}$ $\begin{cases} −6y = 3, \\ x = 0,5. \end{cases}$
Розв'язком системи рівняння є пара чисел (0,5; −0,5).
4) |x − y + 5| + x2 – 4xy + 4y2 = 0;
|x − y + 5| + (x − 2y)2 = 0.
Сума двох невід'ємних виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю. Отже, розв'язком даного рівняння є розв'язок системи:
$\begin{cases} x − y + 5 = 0, \\ x − 2y = 0 | · (−1); \end{cases}$ $\begin{cases} x − y + 5 = 0, \\ −x + 2y = 0; \end{cases}$
y + 5 = 0;
y = −5.
Підставимо у перше рівняння системи значення y = −5 й отримаємо:
x + 5 + 5 = 0;
x = −10.
Розв'язком системи рівняння є пара чисел (−10; −5).
5) x2 + y2 − 4x + 2y + 5 = 0;
(x2 − 4x + 4) + (y2 + 2y + 1) = 0;
(x – 2)2 + (y + 1)2 = 0.
Сума квадратів двох виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю. Отже, розв'язком даного рівняння є розв'язок системи:
$\begin{cases} x − 2 = 0, \\ y + 1 = 0; \end{cases}$ $\begin{cases} x = 2, \\ y = −1. \end{cases}$
Розв'язком системи і рівняння є пара чисел (2; −1).
6) x2 − 2xy + 2y2 + 6y + 9 = 0;
(x2 − 2xy + y2) + (y2 + 6y + 9) = 0;
(x – y)2 + (y + 3)2 = 0.
Сума квадратів двох виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють нулю. Отже, розв'язком даного рівняння є розв'язок системи:
$\begin{cases} x – y = 0, \\ y + 3 = 0; \end{cases}$ $\begin{cases} y = –3, \\ x = –3. \end{cases}$
Розв'язком системи і рівняння є пара чисел (−3; −3).
Відповідь:
1) (2; 6);
2) (−4; −8);
3) (0,5; −0,5);
4) (−10; −5);
5) (2; −1);
6) (−3; −3).