Завдання № 57

№ 57 ЗПС Алгебра = № 57 ЗПС Математика

Умова:

У результаті множення многочлена 4x³ – 2x² + 3x – 8 на многочлен ax² + bx + 1 одержали многочлен, який не містить ані x⁴, ані x³. Знайдіть коефіцієнти a і b та многочлен, який одержали в добутку.

Розв'язок:

(4х³ – 2х² + 3х – 8)(aх² + bх + 1) = 4ах⁵ + 4bx⁴ + 4х³ – 2ах⁴ – 2bх³ – 2х² + 3ах³ + 3bх² + 3х – 8ах² – 8bx – 8 = 4ах⁵ + х⁴(4b – 2a) + х³(4 – 2b + 3а) + х²(–2 + 3b – 8а) + х(3 – 8b) – 8.
Якщо многочлен не містить ні х⁴, ні х³, то
а) 4b – 2а = 0;
4b = 2а;
а = 2b;
б) 4 – 2b + 3а = 0;
4 – а + 3а = 0;
4 + 2а = 0;
2а = –4;
а = –2.
Підставимо значення а = –2 у рівність а = 2b і одержимо: 2b = –2; b = –1. Шуканий многочлен буде мати вигляд: 4aх⁵ + х⁴(4b – 2а) + х³(4 –2b + 3а) + х²(–2 + 3b – 8а) + х(3 – 8b) – 8 = –8х⁵ + х²(–2 – 3 + 16) + х(3 + 8) – 8 = –8х⁵ + 11x² + 11x – 8.

Відповідь: