Завдання № 1302

№ 1302 Алгебра = № 20 ВПТ 11 Математика

Умова:

Розв'яжіть рівняння з двома змінними:
1) |x – y| + (x + 2y – 1)² = 0;
2) |x + y – 6| + x² – 4xy + 4y² = 0.

Розв'язок:

1)  |x − y| + (x + 2y − 1)² = 0. Сума двох невід’ємних виразів дорівнює нулю лише тоді, коли кожен з них дорівнює нулю. Отже, розв’язком даного рівняння є розв’язок системи:
$\begin{cases} |x – y| = 0, \\ (x + 2y – 1)^2 = 0; \end{cases}$ $\begin{cases} x – y = 0, \\ x + 2y – 1 = 0; \end{cases}$
$\begin{cases} x = y, \\ y + 2y – 1 = 0; \end{cases}$ $\begin{cases} x = y, \\ 3y = 1; \end{cases}$
$\begin{cases} x = y, \\ y = \frac{1}{3}; \end{cases}$ $\begin{cases} x = \frac{1}{3}, \\ y = \frac{1}{3}. \end{cases}$

2) |x + y − 6| + x² − 4xy + 4y² = 0; |x + y − 6| + (x − 2y)² = 0. Сума двох невід’ємних чисел |x + y − 6| і (x − 2y)² дорівнює нулю лише тоді, коли кожен із цих доданків дорівнює нулю. Маємо:
$\begin{cases} x + y – 6 = 0, \\  x – 2y = 0; \end{cases}$ $\begin{cases} –x – y = –6, \\  x – 2y = 0; \end{cases}$
$\begin{cases} –3y = –6, \\  x – 2y = 0; \end{cases}$ $\begin{cases} y = 2, \\ x – 2 · 2 = 0; \end{cases}$ $\begin{cases} y = 2, \\ x = 4. \end{cases}$

Відповідь:

1) ($\frac{1}{3}$; $\frac{1}{3}$);

2) (4; 2).