№ 147 Алгебра = № 2.44 Математика
Для якого значення а має безліч коренів рівняння:
1) (а + 2)х = 2 + а;
2) (а – 3)х = 9;
3) а(а – 4)х = 4 – а?
Розв'язок:
1) (а + 2)х = 2 + а
Розглянемо випадок, коли рівняння стає тотожністю, тобто ліворуч і праворуч завжди будуть однакові вирази, незалежно від х.
(a + 2)x = 2 + a
(a + 2)x = a + 2
(a + 2)x - (a + 2)= 0
(a + 2)(x − 1) = 0
Щоб це рівняння було тотожністю, a + 2 повинно дорівнювати нулю:
a + 2 = 0
a = −2
При a = −2 рівняння стає 0 ⋅ x = 0, що є тотожністю, і будь-яке х є коренем рівняння. Отже, при a = −2 рівняння має безліч коренів.
2) (а – 3)х = 9
Щоб рівняння (a – 3)x = 9 мало безліч коренів, потрібно, щоб ліворуч було завжди нуль, а праворуч - також завжди нуль. Розглянемо рівняння:
(a – 3)x = 9
Для того, щоб це рівняння було тотожністю, необхідно, щоб a − 3 = 0 і при цьому ліворуч і праворуч були однакові вирази. Але 0 ⋅ x = 9 неможливо, оскільки 0 не може дорівнювати 9.
Отже, немає значення а, при якому це рівняння має безліч коренів.
3) а(а – 4)х = 4 – а
Щоб рівняння a(a – 4)x = 4 – a мало безліч коренів, потрібно, щоб ліворуч і праворуч завжди були однакові вирази, незалежно від х. Розглянемо рівняння:
a(a – 4)x = 4 – a
Для того, щоб це рівняння було тотожністю, необхідно, щоб a(a – 4) = 0 і при цьому ліворуч і праворуч були однакові вирази. Винесемо спільний множник:
(a(a – 4))(x + 1) = 0
Щоб це рівняння було тотожністю, a(a–4) повинно дорівнювати нулю:
a(a – 4) = 0
Це відбувається, коли a = 0 або a = 4.
Якщо a = 0, то рівняння стає 0 ⋅ x = 4, що неможливо.
Якщо a = 4, то рівняння стає 0 ⋅ x = 0, що є тотожністю, і будь-яке х є коренем рівняння.
Отже, при a = 4 рівняння має безліч коренів.
Відповідь:
1) а = -2;
2) немає такого значення а;
3) а = 4.