№ 146 Алгебра = № 2.43 Математика
Умова:
Для якого значення m будь-яке число є коренем рівняння:
1) (m – 1)х = 1 – m;
2) m(m + 2)х = (m + 2);
3) (m – 3)х = 5?
Розв'язок:
1) (m – 1)х = 1 – m
Розглянемо випадок, коли рівняння стає тотожністю, тобто ліворуч і праворуч завжди будуть однакові вирази, незалежно від x.
Для цього:
(m – 1)x = 1 – m
(m – 1)x = −(m – 1)
(m – 1)x + (m – 1) = 0
(m – 1)(x + 1) = 0
Щоб це рівняння було тотожним, m – 1 повинно дорівнювати нулю:
m – 1 = 0
m = 1
При m = 1 рівняння стає 0 ⋅ x = 0, що є тотожністю, і будь-яке x є коренем рівняння.
2) m(m + 2)х = (m + 2)
Аналогічно, щоб будь-яке x було коренем рівняння, потрібно, щоб вираз ліворуч завжди дорівнював виразу праворуч.
m(m + 2)x = (m + 2)
m(m + 2)x - (m + 2) = 0
(m + 2)(mx − 1) = 0
Щоб це рівняння було тотожним, m + 2 повинно дорівнювати нулю:
m + 2 = 0
m = −2
При m = −2 рівняння стає 0 ⋅ x = 0, що є тотожністю, і будь-яке x є коренем рівняння.
3) (m – 3)х = 5
Розглянемо випадок, коли рівняння стає тотожністю, тобто ліворуч і праворуч завжди будуть однакові вирази, незалежно від х. Однак у цьому рівнянні праворуч є константа 5, тому рівняння не може бути тотожністю, оскільки ліва частина рівняння буде залежати від х.
(m – 3)x = 5
Для того, щоб будь-яке число х було коренем, необхідно, щоб m – 3 дорівнювало нулю, оскільки це єдина можливість, коли рівняння стає незалежним від х:
m – 3 = 0
m = 3
Але при m = 3 рівняння стає 0 ⋅ x = 5, що неможливо, оскільки 0 не може дорівнювати 5. Отже, немає значення m, при якому будь-яке число є коренем цього рівняння.
Відповідь:
1) m = 1;
2) m = -2;
3) немає такого значення m.