Ти навчишся розв'язувати задачі на рух за допомогою рівнянь: назустріч, у протилежних напрямках, за течією і проти течії. Для кожної задачі ти намалюєш схему-відрізок, заповниш таблицю і за схемою складеш рівняння.
Уже склав рівняння до задачі на рух, а корінь вийшов дивним? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».
Три кроки до рівняння
У задачі на рух є три величини: швидкість $v$, час $t$ і відстань $s$. Їх пов'язує формула $s=vt$: відстань дорівнює швидкості, помноженій на час.
Як скласти рівняння до задачі на рух
- Намалюй схему. Шлях познач відрізком, а стрілками покажи, хто звідки й куди рухається. На схемі видно, з яких частин складається весь шлях.
- Заповни таблицю. Для кожного учасника руху запиши в ній швидкість $v$, час $t$ і відстань $s$. Одну невідому величину познач через $x$, а відстань запиши як добуток швидкості на час.
- Склади рівняння за схемою. Вона показує, як пов'язані відстані з таблиці. Два шляхи разом дають відому відстань, або різниця двох шляхів дорівнює відомому числу кілометрів, або шляхи рівні.
Далі дій, як у будь-якій задачі § 3. Розв'яжи рівняння, перевір, чи має корінь зміст у задачі, і дай відповідь на запитання.
Час записуй у годинах
Швидкість 60 км/год означає, що за кожну годину учасник долає 60 км. Тому у формулі $s=vt$ час теж має бути в годинах. Якщо в умові є хвилини, спершу переведи їх у години.
В одній годині 60 хвилин, тому кількість хвилин ділимо на 60.
| Хвилини | Ділимо на 60 | Години |
|---|---|---|
| 6 хв | 6 : 60 | 0,1 год |
| 12 хв | 12 : 60 | 0,2 год |
| 15 хв | 15 : 60 | 0,25 год |
| 30 хв | 30 : 60 | 0,5 год |
| 45 хв | 45 : 60 | 0,75 год |
| 20 хв | 20 : 60 | $\frac{1}{3}$ год |
Якщо час задано в годинах і хвилинах, переводимо лише хвилини. Наприклад, 1 год 12 хв — це 1 год і ще 0,2 год, тобто 1,2 год.
Якщо поділити 20 на 60, вийде 0,333… Трійки повторюються без кінця, тож точного десяткового дробу немає. Тому 20 хв записуємо звичайним дробом:
$\frac{20}{60}=\frac{1}{3}$ (год). Так само 40 хв — це $\frac{2}{3}$ год.
Розв'язані задачі
Приклад 1. Знайди швидкості учасників, які рухалися назустріч і вирушили не одночасно
Відстань між містами $A$ і $B$ дорівнює 336 км. З міста $A$ до міста $B$ виїхав автобус. Через 45 хв після цього з міста $B$ до міста $A$ виїхав легковик. Вони зустрілися через 2 год після виїзду легковика. Швидкість легковика на 16 км/год більша за швидкість автобуса. Знайди швидкість кожного.
Розв'язання.
Схема. Креслимо відрізок $AB$. Автобус їде від $A$ праворуч, легковик — від $B$ ліворуч, назустріч йому. Місце зустрічі позначаємо прапорцем, як у підручнику.
Таблиця. Нехай швидкість автобуса — $x$ км/год, тоді швидкість легковика — $(x+16)$ км/год. Легковик їхав до зустрічі 2 год. Автобус виїхав на 45 хв раніше, тому був у дорозі довше:
45 хв = 0,75 год; 2 + 0,75 = 2,75 (год).
| Учасники руху | $v$, км/год | $t$, год | $s$, км |
|---|---|---|---|
| Автобус | $x$ | 2,75 | $2{,}75x$ |
| Легковик | $x+16$ | 2 | $2(x+16)$ |
| Разом | 336 км | ||
Відстані з останньої колонки таблиці підписуємо на схемі під частинами відрізка.
Рівняння. Прапорець ділить відрізок $AB$ на дві частини. Синю частину проїхав автобус, фіолетову — легковик. Разом ці частини дають увесь відрізок, тобто 336 км.
| Маємо рівняння: $2{,}75x+2(x+16)=336$; |
| $2{,}75x+2x+32=336$; |
| $4{,}75x=304$; |
| $x=64$ (км/год) — швидкість автобуса. |
| 64 + 16 = 80 (км/год) — швидкість легковика. |
Відповідь: 64 км/год; 80 км/год.
Перевіримо відповідь за умовою. Автобус проїхав 64 · 2,75 = 176 (км), а легковик — 80 · 2 = 160 (км). Разом вийшло 176 + 160 = 336 (км), як в умові.
Приклад 2. Знайди час руху, якщо учасники віддаляються в протилежних напрямках
Із селища пішки вийшов Олег зі швидкістю 5 км/год. Через 1 год 12 хв із того самого селища в протилежному напрямку виїхала велосипедом Ірина зі швидкістю 16 км/год. Через скільки годин після свого виїзду Ірина буде на відстані 48 км від Олега? На якій відстані від селища вона тоді буде?
Розв'язання.
Схема. Селище позначаємо рискою на відрізку. Олег іде від селища ліворуч, Ірина їде праворуч. Відстань між ними — це весь відрізок від Олега до Ірини.
Таблиця. Нехай Ірина їхала $x$ год. Олег вийшов на 1 год 12 хв раніше, тому був у дорозі довше. Переводимо хвилини в години:
12 : 60 = 0,2, тому 1 год 12 хв = 1,2 год. Отже, Олег ішов $(x+1{,}2)$ год.
| Учасники руху | $v$, км/год | $t$, год | $s$, км |
|---|---|---|---|
| Олег | 5 | $x+1{,}2$ | $5(x+1{,}2)$ |
| Ірина | 16 | $x$ | $16x$ |
| Разом | 48 км | ||
Рівняння. Селище ділить відрізок на дві частини: синя — шлях Олега, фіолетова — шлях Ірини. Разом ці частини дають 48 км.
| Маємо рівняння: $5(x+1{,}2)+16x=48$; |
| $5x+6+16x=48$; |
| $21x=42$; |
| $x=2$ (год) — їхала Ірина. |
| 16 · 2 = 32 (км) — від селища до Ірини. |
Відповідь: через 2 год; 32 км.
У задачі два запитання, тому у відповіді два числа. Перевіримо за умовою. Олег ішов 2 + 1,2 = 3,2 (год) і пройшов 5 · 3,2 = 16 (км). Разом вийшло 16 + 32 = 48 (км).
У цій задачі рівняння має такий самий вигляд, як у задачі на рух назустріч: дві частини відрізка разом дають увесь відрізок. Відрізняється лише схема: там учасники зближуються, а тут віддаляються.
Приклад 3. Знайди власну швидкість катера, якщо відомо, на скільки шлях проти течії довший
Катер плив 1,5 год за течією річки і 2,5 год проти течії. Проти течії він проплив на 8 км більше, ніж за течією. Швидкість течії дорівнює 3 км/год. Знайди власну швидкість катера.
Розв'язання.
Власна швидкість катера — це його швидкість у стоячій воді, наприклад в озері.
Схема. Катер нікого не зустрічає, тому порівнюємо два його шляхи. Креслимо їх один під одним від спільного початку. Шлях проти течії довший, і його зайва частина дорівнює 8 км.
Таблиця. Нехай власна швидкість катера — $x$ км/год. За течією річка допомагає катеру, тому швидкість течії додаємо. Проти течії річка заважає, тому швидкість течії віднімаємо.
| Рух катера | $v$, км/год | $t$, год | $s$, км |
|---|---|---|---|
| За течією | $x+3$ | 1,5 | $1{,}5(x+3)$ |
| Проти течії | $x-3$ | 2,5 | $2{,}5(x-3)$ |
Відстані з останньої колонки таблиці підписуємо на схемі біля відрізків.
Рівняння. Якщо від довшого шляху відняти коротший, залишиться 8 км.
| Маємо рівняння: $2{,}5(x-3)-1{,}5(x+3)=8$; |
| $2{,}5x-7{,}5-1{,}5x-4{,}5=8$; |
| $x-12=8$; |
| $x=20$ (км/год) — власна швидкість катера. |
Перед другими дужками стоїть «мінус», тому обидва доданки в дужках змінюють знак:
$-1{,}5(x+3)=-1{,}5x-4{,}5$.
Відповідь: 20 км/год.
Проаналізуємо корінь. Власна швидкість 20 км/год більша за швидкість течії, тож катер справді може плисти проти течії.
Перевіримо за умовою. Швидкість катера за течією — 20 + 3 = 23 (км/год), проти течії — 20 − 3 = 17 (км/год). За течією він проплив 23 · 1,5 = 34,5 (км), а проти течії — 17 · 2,5 = 42,5 (км).
Шлях проти течії довший на 42,5 − 34,5 = 8 (км), як в умові.
Якщо в умові два шляхи однакові, віднімати не треба: вирази з останньої колонки прирівнюємо. Так буває і на річці, і на дорозі, коли двоє учасників долають ту саму відстань за різний час.
Якщо шукають швидкість течії, познач її через $x$. Тоді швидкість катера за течією — це власна швидкість плюс $x$, а проти течії — власна швидкість мінус $x$. Таблицю й рівняння будуємо так само.
Яке рівняння підказує схема
У трьох розв'язаних задачах схема була схожою: це відрізки, довжини яких узято з таблиці. Рівняння ми щоразу читали зі схеми. Останній рядок таблиці — для задач, де два шляхи однакові.
| Задача | Рівняння зі схеми |
|---|---|
| Назустріч | шлях першого + шлях другого = відстань між пунктами |
| У протилежних напрямках | шлях першого + шлях другого = відстань між учасниками |
| За течією і проти течії | довший шлях − коротший шлях = різниця шляхів |
| Однакові шляхи | один шлях = другий шлях |
Як перевірити себе
- Підстав відповідь в умову, а не в рівняння. Обчисли шлях кожного учасника і перевір те, що сказано в умові: суму шляхів або їхню різницю. Якщо рівняння складено з помилкою, його корінь задовольнить це рівняння, а умову — ні.
- Перевір, чи має корінь зміст. Швидкість і час руху — додатні числа. Власна швидкість човна, тобто його швидкість у стоячій воді, має бути більшою за швидкість течії, інакше він не зможе плисти проти течії.
- Порівняй шлях кожного з усією відстанню. У задачі на рух назустріч зустріч відбувається між пунктами. Тому шлях кожного учасника до зустрічі менший за відстань між пунктами.
- Перевір одиниці часу. Якщо швидкість задано в кілометрах за годину, у таблиці не має бути хвилин.
- Перечитай запитання задачі. Корінь рівняння — це лише та величина, яку позначено через $x$. Якщо питають ще й про відстань, її треба обчислити окремою дією.
Де найчастіше помиляються
1. Хвилини записали після коми
Завдання: відстань між двома селами дорівнює 27 км. З першого села до другого вийшов пішохід зі швидкістю 4 км/год. Через 45 хв із другого села назустріч йому виїхав велосипедист зі швидкістю 12 км/год. Через скільки годин після свого виїзду велосипедист зустріне пішохода?
Неправильно
| 45 хв = 0,45 год; |
| $4(x+0{,}45)+12x=27$; |
| $16x+1{,}8=27$; |
| $16x=25{,}2$; $x=1{,}575$. |
Правильно
| 45 хв = 0,75 год; |
| $4(x+0{,}75)+12x=27$; |
| $16x+3=27$; |
| $16x=24$; $x=1{,}5$. |
Що сталося: через $x$ позначили час велосипедиста в годинах. До нього треба додати 45 хв, і кількість хвилин просто дописали після коми. Але година має 60 хвилин, а не 100, тому хвилини треба ділити на 60.
Як помітити: 45 хв — це більше ніж пів години, а 0,45 год менше за 0,5 год. Правильна відповідь: через 1,5 год.
2. Довший час записали тому, хто вирушив пізніше
Завдання: відстань між містами $A$ і $B$ дорівнює 240 км. З міста $A$ до міста $B$ виїхав автобус зі швидкістю 40 км/год. Через 1 год з міста $B$ назустріч йому виїхав автомобіль зі швидкістю 60 км/год. Через скільки годин після виїзду автомобіля вони зустрінуться?
Неправильно
| $40x+60(x+1)=240$; |
| $100x+60=240$; |
| $100x=180$; $x=1{,}8$. |
Правильно
| $40(x+1)+60x=240$; |
| $100x+40=240$; |
| $100x=200$; $x=2$. |
Що сталося: через $x$ позначили час автомобіля, а годину додали теж йому. Насправді довше був у дорозі автобус, бо він виїхав раніше.
Як помітити: перевір за умовою. Якщо $x=1{,}8$, автобус їхав 1,8 + 1 = 2,8 (год) і проїхав 40 · 2,8 = 112 (км). Автомобіль проїхав 60 · 1,8 = 108 (км). Разом виходить 220 км, хоча в умові 240 км.
Правильна відповідь: через 2 год.
3. Від коротшого шляху відняли довший
Завдання: човен плив 2 год за течією річки і 3 год проти течії. Проти течії він проплив на 4 км більше, ніж за течією. Швидкість течії дорівнює 2 км/год. Знайди власну швидкість човна.
Неправильно
| $2(x+2)-3(x-2)=4$; |
| $2x+4-3x+6=4$; |
| $-x+10=4$; $x=6$. |
Правильно
| $3(x-2)-2(x+2)=4$; |
| $3x-6-2x-4=4$; |
| $x-10=4$; $x=14$. |
Що сталося: за умовою довший шлях — проти течії, а в рівнянні від шляху за течією відняли шлях проти течії.
Як помітити: перевір за умовою. Якщо $x=6$, швидкість човна за течією — 6 + 2 = 8 (км/год), а проти течії — 6 − 2 = 4 (км/год). За течією він проплив 8 · 2 = 16 (км), а проти течії — 4 · 3 = 12 (км). Шлях проти течії вийшов коротшим, а в умові він довший.
Правильна відповідь: 14 км/год.
Спробуй сам
- Запиши в годинах: 1) 24 хв; 2) 1 год 45 хв; 3) 2 год 6 хв; 4) 10 хв.
- Відстань між містами $A$ і $B$ дорівнює 254 км. З міста $A$ до міста $B$ виїхала вантажівка. Через 36 хв після цього з міста $B$ до міста $A$ виїхав мотоцикліст. Вони зустрілися через 2 год після виїзду мотоцикліста. Швидкість мотоцикліста на 12 км/год більша за швидкість вантажівки. Знайди швидкість кожного.
- Відстань між пунктами $A$ і $B$ дорівнює 124 км. З пункту $A$ до пункту $B$ зі швидкістю 14 км/год виїхав велосипедист. Через 2 год з пункту $B$ до пункту $A$ виїхав мотоцикліст зі швидкістю 50 км/год. Скільки годин до зустрічі їхав велосипедист? На якій відстані від пункту $A$ вони зустрілися?
- З містечка на північ виїхав автобус зі швидкістю 60 км/год. Через 20 хв із того самого містечка на південь виїхав автомобіль зі швидкістю 75 км/год. Через скільки годин після виїзду автомобіля відстань між ними дорівнюватиме 290 км?
- Катер плив 2 год за течією річки і 2,5 год проти течії. Обидва шляхи виявилися однаковими. Швидкість течії дорівнює 2 км/год. Знайди власну швидкість катера.
- Власна швидкість катера дорівнює 18 км/год. Він плив 1,5 год за течією річки і 2 год проти течії. Проти течії катер проплив на 2 км більше, ніж за течією. Знайди швидкість течії.
- Учень розв'язав задачу про човен на річці. У нього вийшло, що власна швидкість човна дорівнює 1,5 км/год, а швидкість течії — 2 км/год. Чому таку відповідь треба перевірити ще раз?
Перевірити відповіді
- 1) 0,4 год; 2) 1,75 год; 3) 2,1 год; 4) $\frac{1}{6}$ год.
- 50 км/год і 62 км/год.
- 3,5 год; 49 км.
- Через 2 год.
- 18 км/год.
- 2 км/год.
- Власна швидкість човна менша за швидкість течії. Такий човен не зміг би плисти проти течії: річка зносила б його назад.
Повне розв'язання завдання 3
Нехай велосипедист їхав до зустрічі $x$ год. Мотоцикліст виїхав на 2 год пізніше, тому їхав на 2 год менше, тобто $(x-2)$ год.
| Учасники руху | $v$, км/год | $t$, год | $s$, км |
|---|---|---|---|
| Велосипедист | 14 | $x$ | $14x$ |
| Мотоцикліст | 50 | $x-2$ | $50(x-2)$ |
| Разом | 124 км | ||
| Маємо рівняння: $14x+50(x-2)=124$; |
| $14x+50x-100=124$; |
| $64x=224$; |
| $x=3{,}5$ (год) — їхав велосипедист. |
| 14 · 3,5 = 49 (км) — від пункту $A$ до місця зустрічі. |
Перевірка: мотоцикліст їхав 3,5 − 2 = 1,5 (год) і проїхав 50 · 1,5 = 75 (км). Разом 49 + 75 = 124 (км).
Повне розв'язання завдання 4
Нехай автомобіль їхав $x$ год. Автобус виїхав на 20 хв раніше, а 20 хв — це $\frac{1}{3}$ год. Тому автобус їхав $\left(x+\frac{1}{3}\right)$ год.
| Маємо рівняння: $60\left(x+\frac{1}{3}\right)+75x=290$; |
| $60x+20+75x=290$; |
| $135x=270$; |
| $x=2$. |
Під час розкриття дужок 60 множимо на $\frac{1}{3}$ і отримуємо 20. Це шлях автобуса за перші 20 хв.
Перевірка: автобус їхав 2 год і ще $\frac{1}{3}$ год, тобто $2\frac{1}{3}$ год. За 2 год він проїхав 60 · 2 = 120 (км) і ще 20 км за 20 хв, разом 140 км. Автомобіль проїхав 75 · 2 = 150 (км). Разом 140 + 150 = 290 (км).
Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються». Найімовірніше, хвилини записано не в годинах або довший час дістався не тому учасникові.
Для батьків
Попросіть дитину спершу намалювати схему і показати на ній пальцем шлях кожного учасника. Якщо вона не може показати, де шлях одного учасника, а де шлях другого, рівняння вона складе навмання.
Потім запитайте: «Хто був у дорозі довше і на скільки годин?» Якщо дитина відповіла в хвилинах, попросіть перевести їх у години. Швидкість у задачі задано в кілометрах за годину, тому й час у рівнянні має бути в годинах.