Ти навчишся перекладати умову задачі на мову рівнянь. Дізнаєшся, що позначити через $x$, як виразити інші величини й скласти рівняння. У прикладах — задачі на числа, відсотки, рух, течію, вік і переміщення предметів.
Уже розв'язав задачі, а відповідь не сходиться з умовою? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».
Математична модель задачі
Візьмемо умову: «Периметр квадрата дорівнює 36 см. Знайди його сторону». Позначимо сторону буквою $a$. Тоді умову можна записати рівнянням $4a=36$.
Математична модель задачі — це запис зв'язку між відомими й невідомими величинами мовою математики: формулою, рівнянням, відношенням.
У § 3 моделлю задачі буде лінійне рівняння $ax=b$ або рівняння, що зводиться до нього після розкриття дужок чи множення на спільний знаменник. Розв'язувати такі рівняння ти вже вмієш з § 2.
Шість кроків розв'язування
Як розв'язати задачу за допомогою рівняння
- Познач змінною $x$ одну з невідомих величин.
- Інші невідомі величини (якщо вони є) вирази через $x$.
- За умовою задачі встанови зв'язок між невідомими й відомими величинами і склади рівняння.
- Розв'яжи рівняння.
- Проаналізуй корінь: чи має він зміст у задачі. Знайди потрібну величину, а за потреби й інші.
- Запиши відповідь на запитання задачі.
Розв'язання записують так: «Нехай … — $x$, тоді … Маємо рівняння: …». Наприкінці пишуть «Відповідь: …».
Через $x$ зазвичай позначають меншу величину або ту, з якою порівнюють інші. Тоді решта виражається без дробів.
Словник-перекладач
Найважче в задачі — перекласти слова умови на мову виразів. Ось словник, яким можна користуватися в усіх задачах параграфа.
Приклад 1. Вирази величини через x
Нехай перше число, ціна чи відстань — $x$. Запишемо через $x$ другу величину.
| на 6 більше за $x$ | $x+6$ |
| на 6 менше за $x$ | $x-6$ |
| у 4 рази більше за $x$ | $4x$ |
| у 3 рази менше за $x$ | $\dfrac{x}{3}$ |
| $x$ на 6 менше за друге число | друге $x+6$ |
| $x$ у 4 рази менше за друге число | друге $4x$ |
| чверть числа $x$ | $\dfrac{x}{4}$ |
| $\dfrac{3}{5}$ від $x$ | $\dfrac{3}{5}x$ |
| 60 % від $x$ | $0{,}6x$ |
| на 5 % більше за $x$ | $x+0{,}05x=1{,}05x$ |
| разом 16, одне з них $x$ | друге $16-x$ |
| $x$ км за 3 год | швидкість $\dfrac{x}{3}$ км/год |
| власна швидкість $x$ км/год (швидкість у стоячій воді), швидкість течії 3 км/год | за течією $x+3$, проти течії $x-3$ |
| зараз $x$ років | через 5 років $x+5$, 5 років тому $x-5$ |
| 30 хв; 20 хв; 12 хв | 0,5 год; $\dfrac{1}{3}$ год; 0,2 год |
| 1 год 30 хв | 1,5 год |
- 1)«На … більше» — додаємо, «на … менше» — віднімаємо.
- 2)«У … разів більше» — множимо, «у … разів менше» — ділимо. Тому «на 4 більше» і «у 4 рази більше» — різні записи: $x+4$ і $4x$.
- 3)Стеж, яку величину з якою порівнюють. «У 7-А на 4 учні менше, ніж у 7-Б»: якщо 7-А — $x$, то 7-Б на 4 більше, тобто $x+4$. Якщо $x$ у 4 рази менше за друге число, то друге — $4x$.
- 4)Відсотки записуємо десятковим дробом: 60 % — це 0,6, а 5 % — це 0,05. Частина від числа — множення: $\frac{3}{5}$ від $x$ — це $\frac{3}{5}x$.
- 5)Швидкість за течією — власна швидкість плюс швидкість течії. Проти течії — мінус.
- 6)Хвилини ділимо на 60, щоб дістати години: 20 : 60 = $\frac{1}{3}$, 12 : 60 = 0,2, а 1 год 30 хв = 1 + 0,5 = 1,5 год. Якщо швидкість у кілометрах за годину, то й час має бути в годинах.
Відповідь: записи — у правому стовпчику таблиці.
Задачі на числа, частини й відсотки
Приклад 2. Знайди загадане число
1) Загадали число. До нього додали 5, а суму помножили на 3. Вийшло 51. Яке число загадали?
| Нехай загадали число $x$. |
| Маємо рівняння: $3(x+5)=51$; |
| $3x+15=51$; $3x=36$; $x=12$. |
Відповідь: 12.
2) Третина числа разом з його чвертю дорівнює 21. Знайди це число.
| Нехай шукане число — $x$. |
| Маємо рівняння: $\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{4}=21$; |
| $4x+3x=252$ (помножили обидві частини на 12); |
| $7x=252$; $x=36$. |
Відповідь: 36.
- 1)У пункті 1 дія «суму помножили на 3» стосується всієї суми. Тому $x+5$ беремо в дужки.
- 2)У пункті 2 позбуваємося знаменників: множимо обидві частини на 12. Маємо 12 : 3 = 4, 12 : 4 = 3, 12 · 21 = 252.
Перевірка: (12 + 5) · 3 = 51; 36 : 3 + 36 : 4 = 12 + 9 = 21.
Приклад 3. Знайди дві величини, якщо відомо, на скільки чи у скільки разів одна більша
1) У двох класах разом 58 учнів. У 7-А на 4 учні менше, ніж у 7-Б. Скільки учнів у кожному класі?
| Нехай у 7-А — $x$ учнів, тоді в 7-Б — $(x+4)$ учнів. |
| Маємо рівняння: $x+x+4=58$; |
| $2x=54$; $x=27$. |
| 27 + 4 = 31 (уч.) — у 7-Б. |
Відповідь: 27 учнів і 31 учень.
2) На полиці книжок у 5 разів більше, ніж журналів. Разом їх 72. Скільки журналів на полиці?
| Нехай журналів — $x$, тоді книжок — $5x$. |
| Маємо рівняння: $x+5x=72$; |
| $6x=72$; $x=12$. |
Відповідь: 12 журналів.
3) Одне число вчетверо більше за інше. Їх різниця дорівнює 45. Знайди ці числа.
| Нехай менше число — $x$, тоді більше — $4x$. |
| Маємо рівняння: $4x-x=45$; |
| $3x=45$; $x=15$. |
| 4 · 15 = 60 — більше число. |
Відповідь: 15 і 60.
Через $x$ позначаємо меншу величину: 7-А, журнали, менше число. Тоді більша записується без дробів: $x+4$, $5x$, $4x$.
Приклад 4. Знайди два числа за їх відношенням
Відношення 5 : 8 означає: перше число складається з 5 однакових частин, а друге — з 8 таких частин. Через $x$ позначаємо одну частину.
1) Сума двох чисел дорівнює 156, а їх відношення — 5 : 8. Знайди ці числа.
| Нехай перше число — $5x$, тоді друге — $8x$. |
| Маємо рівняння: $5x+8x=156$; |
| $13x=156$; $x=12$. |
| 5 · 12 = 60; 8 · 12 = 96. |
Відповідь: 60 і 96.
2) Різниця двох чисел дорівнює 28, а їх відношення — 9 : 5. Знайди ці числа.
| Нехай перше число — $9x$, тоді друге — $5x$. |
| Маємо рівняння: $9x-5x=28$; |
| $4x=28$; $x=7$. |
| 9 · 7 = 63; 5 · 7 = 35. |
Відповідь: 63 і 35.
Зверни увагу: $x=12$ чи $x=7$ — ще не відповідь: числа дорівнюють $5x$ і $8x$, $9x$ і $5x$.
Приклад 5. Знайди сторони фігури за периметром
1) Периметр трикутника дорівнює 41 см. Дві його сторони рівні. Кожна з них на 5 см коротша за третю. Знайди сторони трикутника.
| Нехай кожна з рівних сторін — $x$ см, тоді третя — $(x+5)$ см. |
| Маємо рівняння: $x+x+x+5=41$; |
| $3x=36$; $x=12$. |
| 12 + 5 = 17 (см) — третя сторона. |
Відповідь: 12 см, 12 см, 17 см.
2) Периметр прямокутника дорівнює 46 см. Одна його сторона на 7 см довша за іншу. Знайди сторони і площу прямокутника.
| Нехай менша сторона — $x$ см, тоді більша — $(x+7)$ см. |
| Маємо рівняння: $2(x+x+7)=46$; |
| $x+x+7=23$; $2x=16$; $x=8$. |
| 8 + 7 = 15 (см) — більша сторона. |
| 8 · 15 = 120 (см²) — площа. |
Відповідь: 8 см і 15 см; 120 см².
Периметр прямокутника — подвоєна сума двох сусідніх сторін. У пункті 2 спершу ділимо обидві частини на 2: 46 : 2 = 23.
Приклад 6. Розв'яжи задачі, де одна величина — дріб від іншої
1) За два дні зібрали 350 кг яблук. Другого дня зібрали $\frac{3}{4}$ того, що першого. Скільки кілограмів зібрали кожного дня?
| Нехай першого дня зібрали $x$ кг, тоді другого — $\dfrac{3}{4}x$ кг. |
| Маємо рівняння: $x+\dfrac{3}{4}x=350$; |
| $4x+3x=1400$ (помножили обидві частини на 4); |
| $7x=1400$; $x=200$. |
| $\dfrac{3}{4}\cdot 200=150$ (кг) — другого дня. |
Відповідь: 200 кг і 150 кг.
2) Другого дня туристи пройшли $\frac{5}{6}$ відстані, яку пройшли першого. Це на 4 км менше, ніж першого дня. Скільки кілометрів вони пройшли кожного дня?
| Нехай першого дня — $x$ км, тоді другого — $\dfrac{5}{6}x$ км. |
| Маємо рівняння: $x-\dfrac{5}{6}x=4$; |
| $6x-5x=24$ (помножили на 6); $x=24$. |
| $\dfrac{5}{6}\cdot 24=20$ (км) — другого дня. |
Відповідь: 24 км і 20 км.
Через $x$ позначаємо ту величину, від якої беруть дріб. Так друга величина записується одним виразом.
Приклад 7. Розв'яжи задачі на відсотки
1) Велосипед і шолом разом коштують 7 700 грн. Шолом коштує 10 % вартості велосипеда. Скільки коштує велосипед?
| Нехай велосипед коштує $x$ грн, тоді шолом — $0{,}1x$ грн. |
| Маємо рівняння: $x+0{,}1x=7700$; |
| $1{,}1x=7700$; $x=7000$. |
Відповідь: 7 000 грн.
2) Другого тижня Оля прочитала на 20 % більше сторінок, ніж першого. Це на 18 сторінок більше. Скільки сторінок вона прочитала кожного тижня?
| Нехай першого тижня — $x$ сторінок, тоді другого — $1{,}2x$. |
| Маємо рівняння: $1{,}2x-x=18$; |
| $0{,}2x=18$; $x=90$. |
| 1,2 · 90 = 108 (с.) — другого тижня. |
Відповідь: 90 і 108 сторінок.
«На 20 % більше» означає $x+0{,}2x=1{,}2x$. Число 18 — це і є ті 20 %, тобто $0{,}2x$.
Приклад 8. Розв'яжи задачу за готовою формулою
Іноді модель уже дано у вигляді формули. Тоді в неї підставляють відомі числа і розв'язують рівняння.
1) Поїздка на таксі коштує $C=40+15n$ гривень, де $n$ — кількість кілометрів. Скільки кілометрів щонайбільше можна проїхати на 300 грн?
| За умовою $C=300$. Щоб знайти межу, прирівнюємо: $40+15n=300$; |
| $15n=260$; $n\approx 17{,}3$. |
| Отже, можна проїхати не більше ніж 17 км. |
Відповідь: 17 км.
2) У грі за кожен пройдений рівень дають 3 зірки, а за реєстрацію — ще 8. Отже, кількість зірок $Z=3k+8$, де $k$ означає кількість рівнів. Щоб відкрити скриню, треба мати щонайменше 45 зірок. Скільки рівнів щонайменше треба пройти?
| Щоб знайти межу, прирівнюємо $Z$ до 45: $3k+8=45$; |
| $3k=37$; $k\approx 12{,}3$. |
| Отже, треба пройти не менше ніж 13 рівнів. |
Відповідь: 13 рівнів.
- 1)«Щонайбільше» і «щонайменше» означають межу. Рівняння знаходить саму межу. Корінь вийшов дробовий, а кілометри й рівні тут рахуємо цілими. Це крок 5: аналіз кореня.
- 2)У пункті 1 округлюємо вниз. За 18 км довелося б заплатити 40 + 15 · 18 = 310 грн, а це більше за 300.
- 3)У пункті 2 округлюємо вгору. За 12 рівнів буде 3 · 12 + 8 = 44 зірки, а треба щонайменше 45.
Задачі на рух
У задачах на рух використовуємо формулу $s=vt$: відстань дорівнює швидкості, помноженій на час. Умову зручно записати в таблицю «учасники руху — $v$, $t$, $s$». Для руху назустріч ще й малюють схему-відрізок.
Приклад 9. Розв'яжи задачі, де відстані однакові
1) Автобус за 3 год проїжджає стільки, скільки велосипедист за 7 год. Швидкість автобуса на 48 км/год більша. Знайди швидкість кожного.
Нехай швидкість велосипедиста — $x$ км/год. Запишемо умову в таблицю.
| Учасники руху | $v$, км/год | $t$, год | $s$, км |
|---|---|---|---|
| Велосипедист | $x$ | 7 | $7x$ |
| Автобус | $x+48$ | 3 | $3(x+48)$ |
| Відстані однакові. Маємо рівняння: $3(x+48)=7x$; |
| $3x+144=7x$; $3x-7x=-144$; |
| $-4x=-144$; $x=36$ (км/год) — велосипедист. |
| 36 + 48 = 84 (км/год) — автобус. |
Відповідь: 36 км/год і 84 км/год.
2) Від дому до озера Андрій їхав велосипедом зі швидкістю 15 км/год, а назад — зі швидкістю 10 км/год. На весь шлях він витратив 5 год. Яка відстань від дому до озера?
Нехай відстань — $x$ км. Тоді час на кожну частину шляху — відстань, поділена на швидкість.
| Учасники руху | $v$, км/год | $t$, год | $s$, км |
|---|---|---|---|
| Туди | 15 | $\dfrac{x}{15}$ | $x$ |
| Назад | 10 | $\dfrac{x}{10}$ | $x$ |
| Разом 5 год. Маємо рівняння: $\dfrac{x}{15}+\dfrac{x}{10}=5$; |
| $2x+3x=150$ (помножили на 30); |
| $5x=150$; $x=30$. |
Відповідь: 30 км.
У пункті 2 спільний знаменник 30: 30 : 15 = 2, 30 : 10 = 3, 30 · 5 = 150. Перевірка: туди 30 : 15 = 2 год, назад 30 : 10 = 3 год, разом 5 год.
Приклад 10. Знайди швидкості, якщо один виїхав пізніше
Відстань між містами $A$ і $B$ — 355 км. Автобус виїхав з $A$ до $B$. Через 30 хв з $B$ назустріч йому виїхав автомобіль, швидший на 10 км/год. Вони зустрілися через 3 год після виїзду автомобіля. Знайди швидкість кожного.
Нехай швидкість автобуса — $x$ км/год. Автобус їхав на 30 хв довше: 3 + 0,5 = 3,5 (год).
| Учасники руху | $v$, км/год | $t$, год | $s$, км |
|---|---|---|---|
| Автобус | $x$ | 3,5 | $3{,}5x$ |
| Автомобіль | $x+10$ | 3 | $3(x+10)$ |
| Разом | 355 км | ||
| Маємо рівняння: $3{,}5x+3(x+10)=355$; |
| $3{,}5x+3x+30=355$; |
| $6{,}5x=325$; $x=50$ (км/год) — автобус. |
| 50 + 10 = 60 (км/год) — автомобіль. |
Відповідь: 50 км/год і 60 км/год.
- 1)Рухаючись назустріч до зустрічі, автобус і автомобіль разом проїхали всю відстань. Тому сума їхніх відстаней дорівнює 355 км.
- 2)Час автомобіля — 3 год. Автобус виїхав раніше, тож до його часу додаємо 30 хв = 0,5 год.
- 3)Перевірка: 50 · 3,5 = 175 (км), 60 · 3 = 180 (км), 175 + 180 = 355 (км).
Приклад 11. Знайди час руху і місце зустрічі
1) Відстань між селами $A$ і $B$ — 47,5 км. З $A$ до $B$ вийшов пішохід зі швидкістю 5 км/год. Через 1 год 30 хв з $B$ назустріч йому виїхав велосипедист зі швидкістю 15 км/год. Скільки годин до зустрічі їхав велосипедист? На якій відстані від $A$ вони зустрілися?
Нехай велосипедист їхав $x$ год. Пішохід ішов на 1 год 30 хв = 1,5 год довше.
| Учасники руху | $v$, км/год | $t$, год | $s$, км |
|---|---|---|---|
| Пішохід | 5 | $x+1{,}5$ | $5(x+1{,}5)$ |
| Велосипедист | 15 | $x$ | $15x$ |
| Разом | 47,5 км | ||
| Маємо рівняння: $5(x+1{,}5)+15x=47{,}5$; |
| $5x+7{,}5+15x=47{,}5$; |
| $20x=40$; $x=2$ (год) — їхав велосипедист. |
| 2 + 1,5 = 3,5 (год) — ішов пішохід. |
| 5 · 3,5 = 17,5 (км) — від $A$ до місця зустрічі. |
Відповідь: 2 год; 17,5 км.
2) З табору вийшов пішохід зі швидкістю 4 км/год. Через 2 год з табору в протилежному напрямку виїхав велосипедист зі швидкістю 12 км/год. Через скільки годин після виїзду велосипедиста відстань між ними буде 40 км? Як далеко від табору тоді буде пішохід?
Нехай велосипедист їхав $x$ год. Пішохід ішов на 2 год довше.
| Учасники руху | $v$, км/год | $t$, год | $s$, км |
|---|---|---|---|
| Пішохід | 4 | $x+2$ | $4(x+2)$ |
| Велосипедист | 12 | $x$ | $12x$ |
| Разом | 40 км | ||
| Маємо рівняння: $4(x+2)+12x=40$; |
| $4x+8+12x=40$; $16x=32$; $x=2$. |
| 4 · (2 + 2) = 16 (км) — пішохід від табору. |
Відповідь: через 2 год; 16 км.
Під час руху в протилежних напрямках відстань між учасниками теж дорівнює сумі їхніх відстаней. Тому рівняння має той самий вигляд, що й для руху назустріч.
Приклад 12. Розв'яжи задачі на рух за течією і проти течії
1) Катер плив 3 год за течією і 4 год проти течії. Проти течії він проплив на 6 км більше. Швидкість течії — 2 км/год. Знайди власну швидкість катера.
Нехай власна швидкість катера — $x$ км/год.
| Учасники руху | $v$, км/год | $t$, год | $s$, км |
|---|---|---|---|
| За течією | $x+2$ | 3 | $3(x+2)$ |
| Проти течії | $x-2$ | 4 | $4(x-2)$ |
| Маємо рівняння: $4(x-2)-3(x+2)=6$; |
| $4x-8-3x-6=6$; |
| $x-14=6$; $x=20$. |
Відповідь: 20 км/год.
2) Власна швидкість човна — 18 км/год. За течією він плив 2 год, а проти течії — 2,5 год. Обидві відстані виявилися однаковими. Знайди швидкість течії.
| Нехай швидкість течії — $x$ км/год, тоді швидкість за течією — $(18+x)$ км/год, проти течії — $(18-x)$ км/год. |
| Маємо рівняння: $2(18+x)=2{,}5(18-x)$; |
| $36+2x=45-2{,}5x$; |
| $2x+2{,}5x=45-36$; |
| $4{,}5x=9$; $x=2$. |
Відповідь: 2 км/год.
У пункті 1 від більшої відстані віднімаємо меншу — виходить 6. Перевірка: проти течії 18 · 4 = 72 (км), за течією 22 · 3 = 66 (км), 72 − 66 = 6 (км).
Задачі, де кількості змінюються
Приклад 13. Розв'яжи задачі, де після змін стало порівну або в кілька разів більше
1) У Марка вдвічі більше наліпок, ніж у Дани. Дана докупила 14 наліпок, і їх стало порівну. Скільки наліпок було в кожного спочатку?
| Нехай у Дани було $x$ наліпок, тоді в Марка — $2x$. |
| Маємо рівняння: $x+14=2x$; |
| $x-2x=-14$; $-x=-14$; $x=14$. |
| 2 · 14 = 28 (нал.) — у Марка. |
Відповідь: 14 і 28 наліпок.
2) На одній ділянці кущів смородини втричі більше, ніж на другій. З першої ділянки пересадили 10 кущів на другу. Тепер кущів порівну. Скільки кущів було на кожній ділянці?
| Нехай на другій ділянці — $x$ кущів, тоді на першій — $3x$. |
| Стало: на першій $3x-10$, на другій $x+10$. |
| Маємо рівняння: $3x-10=x+10$; |
| $3x-x=10+10$; $2x=20$; $x=10$. |
| 3 · 10 = 30 (кущів) — на першій. |
Відповідь: 30 і 10 кущів.
3) На двох полицях стояло порівну книжок. З першої полиці переставили 15 книжок на другу. Тоді на другій стало вдвічі більше книжок, ніж на першій. Скільки книжок було на кожній полиці спочатку?
| Нехай спочатку на кожній полиці — $x$ книжок. |
| Стало: на першій $x-15$, на другій $x+15$. |
| Маємо рівняння: $2(x-15)=x+15$; |
| $2x-30=x+15$; $2x-x=15+30$; $x=45$. |
Відповідь: по 45 книжок.
- 1)Коли предмети переносять з одного місця в інше, змінюються обидві кількості. Там, звідки забрали, стає менше. Там, куди поклали, стає більше.
- 2)«Удвічі більше, ніж на першій» — це менша кількість, помножена на 2: $2(x-15)$. Її беремо в дужки.
- 3)Перевірка пункту 3: 45 − 15 = 30, 45 + 15 = 60, і справді 60 = 2 · 30.
Приклад 14. Розв'яжи задачу на вік
Мамі 36 років, а доньці — 8. Через скільки років мама буде втричі старшою за доньку?
| Нехай це буде через $x$ років. Тоді мамі буде $(36+x)$ років, а доньці — $(8+x)$ років. |
| Маємо рівняння: $36+x=3(8+x)$; |
| $36+x=24+3x$; |
| $x-3x=24-36$; $-2x=-12$; $x=6$. |
Відповідь: через 6 років.
За рік кожен стає старшим на 1 рік. Тому $x$ додаємо до віку обох. Перевірка: через 6 років мамі 42, доньці 14, і 42 = 3 · 14.
Приклад 15. Розв'яжи задачі про покупку і масу ящиків
1) За 20 олівців заплатили 244 грн. Простий олівець коштує 11 грн, а кольоровий — 15 грн. Скільки купили простих і скільки кольорових олівців?
| Нехай купили $x$ простих олівців, тоді кольорових — $(20-x)$. |
| Маємо рівняння: $11x+15(20-x)=244$; |
| $11x+300-15x=244$; |
| $-4x=-56$; $x=14$. |
| 20 − 14 = 6 (ол.) — кольорових. |
Відповідь: 14 простих і 6 кольорових.
2) Ящик з грушами на 2 кг легший за ящик з яблуками. П'ять ящиків з грушами важать стільки, скільки чотири ящики з яблуками. Яка маса кожного ящика?
| Нехай ящик з грушами важить $x$ кг, тоді з яблуками — $(x+2)$ кг. |
| Маємо рівняння: $5x=4(x+2)$; |
| $5x=4x+8$; $x=8$. |
| 8 + 2 = 10 (кг) — ящик з яблуками. |
Відповідь: 8 кг і 10 кг.
У пункті 1 вартість кожного виду — ціна, помножена на кількість. Разом вони дають 244 грн. Перевірка: 11 · 14 + 15 · 6 = 154 + 90 = 244.
Складніші задачі
Приклад 16. Вирази три невідомі через одну змінну
1) Три класи зібрали 150 кг макулатури. Другий клас зібрав на 10 кг більше за перший, а третій — удвічі більше за перший. Скільки зібрав кожен клас?
| Нехай перший клас зібрав $x$ кг, тоді другий — $(x+10)$ кг, третій — $2x$ кг. |
| Маємо рівняння: $x+x+10+2x=150$; |
| $4x=140$; $x=35$. |
| 35 + 10 = 45 (кг); 2 · 35 = 70 (кг). |
Відповідь: 35 кг, 45 кг і 70 кг.
2) Перший шматок тканини на 3 м коротший за другий і вдвічі коротший за третій. Перший і третій шматки разом у 1,5 раза довші за другий. Знайди довжину кожного шматка.
| Нехай перший шматок — $x$ м, тоді другий — $(x+3)$ м, третій — $2x$ м. |
| Маємо рівняння: $x+2x=1{,}5(x+3)$; |
| $3x=1{,}5x+4{,}5$; |
| $3x-1{,}5x=4{,}5$; $1{,}5x=4{,}5$; $x=3$. |
| 3 + 3 = 6 (м); 2 · 3 = 6 (м). |
Відповідь: 3 м, 6 м і 6 м.
Через $x$ позначаємо ту величину, з якою порівнюють обидві інші. Тут це перший клас і перший шматок.
Приклад 17. Знайди ціле за його частинами
1) Половина учасників гуртка — семикласники, третина — шестикласники, а ще 4 учасники — п'ятикласники. Скільки всього учасників у гуртку?
| Нехай усього в гуртку $x$ учасників. |
| Маємо рівняння: $\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{3}+4=x$; |
| $3x+2x+24=6x$ (помножили обидві частини на 6); |
| $3x+2x-6x=-24$; $-x=-24$; $x=24$. |
Відповідь: 24 учасники.
2) Кошик з грибами важить 3 кг і ще третину своєї маси. Яка маса кошика з грибами?
| Нехай маса кошика з грибами — $x$ кг. |
| Маємо рівняння: $x=3+\dfrac{x}{3}$; |
| $3x=9+x$ (помножили на 3); $2x=9$; $x=4{,}5$. |
Відповідь: 4,5 кг.
Усі частини разом дорівнюють цілому. Перевірка: 24 : 2 + 24 : 3 + 4 = 12 + 8 + 4 = 24; 3 + 4,5 : 3 = 3 + 1,5 = 4,5.
Приклад 18. Знайди два числа, якщо частина одного дорівнює частині іншого
1) $\frac{2}{5}$ одного числа дорівнюють $\frac{3}{4}$ іншого. Сума цих чисел — 92. Знайди числа.
| Нехай перше число — $x$, тоді друге — $92-x$. |
| Маємо рівняння: $\dfrac{2}{5}x=\dfrac{3}{4}(92-x)$; |
| $8x=15(92-x)$ (помножили на 20); |
| $8x=1380-15x$; |
| $8x+15x=1380$; $23x=1380$; $x=60$. |
| 92 − 60 = 32 — друге число. |
Відповідь: 60 і 32.
2) 30 % одного числа дорівнюють 20 % іншого. Сума цих чисел — 150. Знайди числа.
| Нехай перше число — $x$, тоді друге — $150-x$. |
| Маємо рівняння: $0{,}3x=0{,}2(150-x)$; |
| $0{,}3x=30-0{,}2x$; |
| $0{,}3x+0{,}2x=30$; $0{,}5x=30$; $x=60$. |
| 150 − 60 = 90 — друге число. |
Відповідь: 60 і 90.
У пункті 1 множимо обидві частини на 20: 20 · $\frac{2}{5}$ = 8, 20 · $\frac{3}{4}$ = 15. Перевірка: $\frac{2}{5}$ від 60 — це 24, і $\frac{3}{4}$ від 32 — теж 24.
Приклад 19. З'ясуй, чи можна розкласти предмети за умовою
1) Чи можна розкласти 50 цукерок у три коробки так, щоб у другій було втричі більше цукерок, ніж у першій, а в третій — на 4 менше, ніж у другій?
| Нехай у першій коробці — $x$ цукерок, тоді в другій — $3x$, у третій — $3x-4$. |
| Маємо рівняння: $x+3x+3x-4=50$; |
| $7x=54$; $x=\dfrac{54}{7}=7\dfrac{5}{7}$. |
| Кількість цукерок має бути цілим числом, а $7\dfrac{5}{7}$ — не ціле. |
Відповідь: ні, не можна.
2) А якщо цукерок 52?
| Маємо рівняння: $x+3x+3x-4=52$; |
| $7x=56$; $x=8$. |
| 3 · 8 = 24; 24 − 4 = 20. |
Відповідь: так: 8, 24 і 20 цукерок.
У пункті 1 рівняння розв'язалося, але корінь дробовий. Для цукерок, книжок чи банок такий корінь не має змісту. Тоді відповідь на запитання «чи можна» — «ні».
Як перевірити себе
Перевіряй відповідь за умовою задачі. Рівняння могло бути складене з помилкою, і тоді його корінь теж підійде до нього. Тому числа відповіді підставляємо в слова умови. Перевіримо приклад 3 (1):
| «Разом 58 учнів»: 27 + 31 = 58 — так. |
| «У 7-А на 4 учні менше»: 31 − 27 = 4 — так. |
- Чи має відповідь зміст? Кількість людей чи предметів — ціле невід'ємне число. Швидкість і час руху — додатні. Місце зустрічі лежить між пунктами: у прикладі 11 відстань 17,5 км менша за 47,5 км.
- Чи відповів ти на запитання? Перечитай останнє речення умови. У прикладі 11 питали ще й про відстань від $A$. У прикладі 4 відповідь — два числа, а $x$ — лише одна частина.
- Чи однакові одиниці? Якщо швидкість у км/год, час має бути в годинах: 30 хв = 0,5 год.
Де найчастіше помиляються
1. Хвилини не перевели в години
Завдання: відстань між селами 23 км. З першого села виїхав велосипедист зі швидкістю 15 км/год. Через 12 хв з другого села назустріч вийшов пішохід зі швидкістю 5 км/год. Через скільки годин після виходу пішохода вони зустрінуться?
Неправильно
| $15(x+12)+5x=23$; |
| $15x+180+5x=23$; |
| $20x=-157$; $x=-7{,}85$. |
Правильно
| 12 хв = 0,2 год; |
| $15(x+0{,}2)+5x=23$; |
| $15x+3+5x=23$; |
| $20x=20$; $x=1$. |
Що сталося: швидкість задано в кілометрах за годину, а до часу додали 12 хвилин як 12 годин.
Як помітити: час вийшов від'ємним, а так не буває. Правильна відповідь: через 1 год.
2. Сплутали «на … більше» і «у … разів більше»
Завдання: одне число на 3 більше за інше. Сума цих чисел — 25. Знайди числа.
Неправильно
| $x+3x=25$; |
| $4x=25$; $x=6{,}25$; |
| 3 · 6,25 = 18,75. |
Правильно
| $x+x+3=25$; |
| $2x=22$; $x=11$; |
| 11 + 3 = 14. |
Що сталося: «на 3 більше» записали як $3x$. Це запис для «у 3 рази більше».
Як помітити: перевір за умовою. 18,75 − 6,25 = 12,5, а мало бути 3. А 14 − 11 = 3.
3. Під час переміщення змінили лише одну кількість
Завдання: на двох полицях стояло порівну книжок. З першої переставили 12 книжок на другу. Тепер на другій утричі більше, ніж на першій. Скільки книжок було на кожній полиці?
Неправильно
| $3(x-12)=x$; |
| $3x-36=x$; |
| $2x=36$; $x=18$. |
Правильно
| $3(x-12)=x+12$; |
| $3x-36=x+12$; |
| $2x=48$; $x=24$. |
Що сталося: 12 книжок забрали з першої полиці, але забули, що їх поставили на другу. На другій стало $x+12$.
Як помітити: за $x=18$ на полицях 6 і 30 книжок, а 30 ≠ 3 · 6. За $x=24$ — 12 і 36, і 36 = 3 · 12.
4. Відповіли не на те запитання
Завдання: у двох коробках 40 олівців. У першій на 6 олівців менше, ніж у другій. Скільки олівців у другій коробці?
Неправильно
| $x+x+6=40$; |
| $2x=34$; $x=17$. |
| Відповідь: 17 олівців. |
Правильно
| $x+x+6=40$; |
| $2x=34$; $x=17$. |
| 17 + 6 = 23 (ол.) — у другій. |
| Відповідь: 23 олівці. |
Що сталося: через $x$ позначили кількість у першій коробці. Корінь 17 — це перша коробка, а питали про другу.
Як помітити: перед відповіддю перечитай запитання і перевір, яку величину позначено через $x$.
Спробуй сам
- Перше число — $x$. Вирази через $x$ друге число, якщо воно: 1) на 9 менше; 2) у 7 разів більше; 3) становить 40 % першого; 4) становить $\frac{2}{3}$ першого.
- Загадали число. Від нього відняли 4, а різницю поділили на 5. Вийшло 7. Яке число загадали?
- У двох бочках разом 130 л води. У першій на 16 л більше, ніж у другій. Скільки літрів у кожній бочці?
- Сума двох чисел дорівнює 99, а їх відношення — 4 : 7. Знайди ці числа.
- Периметр прямокутника — 50 см. Одна сторона вчетверо довша за іншу. Знайди сторони і площу прямокутника.
- Рюкзак і пенал разом коштують 1 380 грн. Пенал коштує 15 % вартості рюкзака. Скільки коштує рюкзак?
- Відстань між містами — 260 км. З них одночасно назустріч виїхали два автомобілі. Швидкість одного на 10 км/год більша. Вони зустрілися через 2 год. Знайди швидкість кожного.
- Від станції до табору діти йшли зі швидкістю 4 км/год, а назад — зі швидкістю 5 км/год. На весь шлях пішло 2 год 15 хв. Яка відстань від станції до табору?
- Човен за 2 год за течією пропливає стільки, скільки за 3 год проти течії. Швидкість течії — 2 км/год. Знайди власну швидкість човна.
- На першому складі вдвічі більше мішків, ніж на другому. З першого перевезли на другий 20 мішків, і стало порівну. Скільки мішків було на кожному складі?
- Татові 40 років, а синові — 12. Через скільки років тато буде вдвічі старшим за сина?
- Одна сторона трикутника на 4 см довша за другу і на 3 см коротша за третю. Периметр трикутника — 44 см. Знайди сторони.
- Чи можна 45 фотографій розкласти в три альбоми так, щоб у другому було на 5 більше, ніж у першому, а в третьому — удвічі більше, ніж у першому?
Перевірити відповіді
- 1) $x-9$; 2) $7x$; 3) $0{,}4x$; 4) $\frac{2}{3}x$.
- 39.
- 73 л і 57 л.
- 36 і 63.
- 5 см і 20 см; 100 см².
- 1 200 грн.
- 60 км/год і 70 км/год.
- 5 км.
- 10 км/год.
- 80 і 40 мішків.
- Через 16 років.
- 15 см, 11 см і 18 см.
- Так: 10, 15 і 20 фотографій.
Повне розв'язання завдання 8
| 2 год 15 хв = 2,25 год, бо 15 : 60 = 0,25. |
| Нехай відстань — $x$ км. Маємо рівняння: $\dfrac{x}{4}+\dfrac{x}{5}=2{,}25$; |
| $5x+4x=45$; |
| $9x=45$; $x=5$. |
Спільний знаменник 20: 20 : 4 = 5, 20 : 5 = 4, 20 · 2,25 = 45. Перевірка: 5 : 4 = 1,25 год, 5 : 5 = 1 год, разом 2,25 год.
Повне розв'язання завдання 12
| Нехай перша сторона — $x$ см, тоді друга — $(x-4)$ см, третя — $(x+3)$ см. |
| Маємо рівняння: $x+x-4+x+3=44$; |
| $3x-1=44$; $3x=45$; $x=15$. |
| 15 − 4 = 11 (см); 15 + 3 = 18 (см). |
Через $x$ позначили першу сторону, бо з нею порівнюють обидві інші. Перевірка: 15 + 11 + 18 = 44.
Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються». Найімовірніше, хвилини лишилися хвилинами або під час переміщення змінилася лише одна кількість.
Для батьків
Попросіть дитину перед рівнянням сказати вголос: «Нехай … — $x$, тоді …». Якщо вона не може назвати, що саме позначено через $x$, рівняння вона складе навмання.
Після розв'язання попросіть перевірити відповідь словами умови: «разом 58 — так, на 4 менше — так». Так помилку в самому рівнянні видно одразу.