Ти навчишся відрізняти рівняння від інших записів і перевіряти, чи є число його коренем. А ще розберемо, які рівняння називають рівносильними і що можна робити з рівнянням, щоб його корені не змінилися.
Уже розв'язав вправи й шукаєш свою помилку? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».
Що таке рівняння
Подивись на запис $3x-1=x+5$. У ньому є знак «=», а ще є буква $x$, тобто змінна. Значення $x$ поки невідоме.
Рівнянням називають рівність, яка містить змінну.
Вираз ліворуч від знака «=» називають лівою частиною рівняння, а вираз праворуч — правою частиною. У рівнянні $3x-1=x+5$ ліва частина — $3x-1$, а права — $x+5$.
Отже, у рівнянні мають бути дві речі одночасно: знак «=» і хоча б одна змінна. Якщо чогось із цього немає, запис рівнянням не є.
Приклад 1. Визнач, які із записів є рівняннями
Записи: $5y+2=17$; $2x-8\gt 0$; $6a-1$; 12 : 3 + 1 = 5.
Розв'язання.
| Запис | Рівняння? | Чому |
|---|---|---|
| $5y+2=17$ | так | є знак «=» і змінна $y$ |
| $2x-8\gt 0$ | ні | це нерівність, знака «=» немає |
| $6a-1$ | ні | це вираз, знака «=» немає |
| 12 : 3 + 1 = 5 | ні | змінної немає |
Останній запис — правильна числова рівність. У ній немає жодної букви, тобто немає змінної, значення якої треба знайти.
Відповідь: рівнянням є лише $5y+2=17$.
Корінь рівняння
Підставимо в рівняння $3x-1=x+5$ число 3 замість $x$. Ліва частина дорівнює 3 · 3 − 1 = 8, а права дорівнює 3 + 5 = 8. Частини рівні, тобто вийшла правильна числова рівність 8 = 8.
Коренем (або розв'язком) рівняння називають значення змінної, яке перетворює рівняння на правильну числову рівність.
Про корінь ще кажуть, що він задовольняє рівняння. Отже, число 3 — корінь рівняння $3x-1=x+5$.
Для числа 2 рівність не вийде. Ліва частина дорівнює 3 · 2 − 1 = 5, а права 2 + 5 = 7. Числа 5 і 7 різні, тому 2 не є коренем.
Як перевірити, чи є число коренем рівняння
- Підстав число замість змінної в ліву частину. Від'ємне число бери в дужки, щоб його мінус не загубився.
- Обчисли значення лівої частини.
- Так само підстав число в праву частину й обчисли її значення.
- Порівняй два результати. Якщо вони рівні, число є коренем, бо рівність вийшла правильною. Якщо різні, число коренем не є.
Приклад 2. Визнач, які з чисел 2, −2 і −3 є коренями рівняння $x^2+x=6$
Розв'язання.
Права частина рівняння — число 6, тому для кожного числа рахуємо лише ліву частину. Від'ємні числа підставляємо в дужках.
| $x$ | Ліва частина $x^2+x$ | Корінь? |
|---|---|---|
| 2 | 2² + 2 = 4 + 2 = 6 | так |
| −2 | (−2)² + (−2) = 4 − 2 = 2 | ні, 2 ≠ 6 |
| −3 | (−3)² + (−3) = 9 − 3 = 6 | так |
Квадрат від'ємного числа додатний:
(−3)² = (−3) · (−3) = 9. Тому від'ємне число теж може бути коренем такого рівняння.
Відповідь: коренями є числа 2 і −3.
Скільки коренів може мати рівняння
У рівняння $x^2+x=6$ знайшлося два корені. А в рівняння $3x-1=x+5$ корінь лише один, число 3. Буває також, що коренем є будь-яке число або що коренів немає зовсім.
Розв'язати рівняння означає знайти всі його корені або довести, що коренів немає.
Знайти один корінь ще не означає розв'язати рівняння. Треба бути певним, що інших коренів немає.
Інше питання — чи має рівняння корені взагалі. Щоб відповісти «так», досить знайти одне число, яке задовольняє рівняння, і перевірити його підстановкою. Наприклад, рівняння $x+3=3-x$ має корінь 0, бо 0 + 3 = 3 − 0.
Приклад 3. Доведи, що коренем рівняння $4(x+5)=4x+20$ є будь-яке число
Розв'язання.
Розкриємо дужки в лівій частині за розподільною властивістю множення:
$4(x+5)=4\cdot x+4\cdot5=4x+20$
Ліва частина після розкриття дужок — це той самий вираз $4x+20$, що й права. Для будь-якого числа $x$ обидві частини мають однакові значення. Тому будь-яке число перетворює рівняння на правильну рівність.
Наприклад, для $x=1$ ліва частина дорівнює 4 · (1 + 5) = 24, а права 4 · 1 + 20 = 24. Для $x=-5$ ліва частина дорівнює 4 · (−5 + 5) = 0, а права 4 · (−5) + 20 = 0. Твердження доведено.
Відповідь: коренем є будь-яке число, тобто рівняння має безліч коренів.
Так само будь-яке число є коренем рівняння $x+3=3+x$. Від переставлення доданків сума не змінюється, тому частини завжди рівні.
Приклад 4. Доведи, що рівняння $x-1=x+6$ не має коренів
Розв'язання.
Порівняємо частини. Ліва частина — це число $x$, зменшене на 1. Права частина — те саме число $x$, збільшене на 6.
Щоб із лівої частини одержати праву, треба додати спершу 1, а потім ще 6. Отже, для будь-якого $x$ права частина більша за ліву на 1 + 6 = 7.
Значення частин ніколи не будуть рівними, тому жодне число не перетворює рівняння на правильну рівність. Твердження доведено.
Відповідь: рівняння не має коренів.
Іноді спершу треба розкрити дужки. Наприклад, рівняння $3(x+2)=3x+5$ після розкриття дужок має вигляд $3x+6=3x+5$. Ліва частина завжди на 1 більша за праву, тому коренів у нього теж немає.
Приклад 5. Склади рівняння, яке має два корені: числа 4 і −4
Розв'язання.
Нам потрібна рівність зі змінною, яку і число 4, і число −4 перетворюють на правильну числову рівність. Квадрати цих чисел однакові:
4² = 16 і (−4)² = 16.
Тому підходить рівняння $x^2=16$, і інших коренів у нього немає.
Квадрат числа, яке ближче до нуля, ніж 4, менший за 16, наприклад 3² = 9. А квадрат числа, яке далі від нуля, більший за 16, наприклад 5² = 25.
Відповідь: наприклад, $x^2=16$.
Рівняння з одним коренем скласти ще простіше. Наприклад, рівняння $x-3=0$ має єдиний корінь 3. Різниця дорівнює нулю, лише коли від числа віднімають те саме число:
3 − 3 = 0.
Рівносильні рівняння
Рівняння $x+2=9$ і $2x=14$ мають той самий корінь 7. Перевір:
7 + 2 = 9 і 2 · 7 = 14.
Два рівняння називають рівносильними, якщо вони мають одні й ті самі корені. Рівносильними вважають і такі рівняння, які коренів не мають.
Якщо в одного рівняння є корінь, якого немає в другого, рівняння не рівносильні. Тому порівнюють усі корені, а не лише один.
Приклад 6. З'ясуй, чи рівносильні рівняння $x-4=2$ і $x:3=2$
Розв'язання.
- 1)Знаходимо корінь першого рівняння. Невідоме зменшуване дорівнює сумі різниці та від'ємника:
$x=2+4=6$. - 2)Знаходимо корінь другого рівняння. Невідоме ділене дорівнює добутку частки та дільника:
$x=2\cdot3=6$. - 3)Кожне рівняння має єдиний корінь, і це те саме число 6.
Якби корені вийшли різними, відповідь була б «ні».
Відповідь: так, рівняння рівносильні.
Властивості рівнянь
Під час розв'язування рівняння поступово перетворюють. Ці перетворення не повинні змінювати коренів. Тому користуються лише такими діями, після яких виходить рівносильне рівняння.
Властивості рівнянь. Рівняння, рівносильне початковому, одержимо, якщо:
- у будь-якій частині рівняння розкрити дужки або звести подібні доданки;
- перенести доданок з однієї частини рівняння в другу, змінивши його знак на протилежний;
- помножити або поділити обидві частини рівняння на одне й те саме число, відмінне від нуля.
Завдяки цим властивостям рівносильність можна встановити, не розв'язуючи рівнянь. Шукаємо, якою з трьох дій друге рівняння можна одержати з першого. Якщо така дія є, рівняння рівносильні.
Приклад 7. Не розв'язуючи, з'ясуй, чи рівносильні рівняння $5(x-2)=3x$ і $5x-10=3x$
Розв'язання.
Розкриємо дужки в лівій частині першого рівняння:
$5(x-2)=5x-10$
Вийшло друге рівняння, а права частина $3x$ не змінилася. За першою властивістю розкриття дужок дає рівносильне рівняння.
Відповідь: так, рівняння рівносильні.
Так само міркують, коли зводять подібні доданки. Наприклад, у рівнянні $4a-a+1=7$ доданки $4a$ і $-a$ подібні, тому воно рівносильне рівнянню $3a+1=7$.
Приклад 8. Не розв'язуючи, з'ясуй, чи рівносильні рівняння $6x-5=2x+7$ і $6x-2x=7+5$
Розв'язання.
- 1)Доданок −5 перенесли з лівої частини в праву. Там він став +5, тобто знак змінився на протилежний.
- 2)Доданок $2x$ перенесли з правої частини в ліву. Там він став $-2x$, і його знак теж змінився.
Обидва доданки перенесено зі зміною знака. За другою властивістю виходить рівносильне рівняння.
Чому знак змінюється? Якщо від обох рівних частин відняти той самий доданок $2x$, вони лишаться рівними. Тоді в правій частині $2x$ зникне, а в лівій з'явиться $-2x$.
Так само, якщо до обох частин додати 5, ліворуч −5 зникне, а праворуч з'явиться +5.
Відповідь: так, рівняння рівносильні.
Приклад 9. Не розв'язуючи, з'ясуй, чи рівносильні рівняння $\dfrac{3x}{5}=6$ і $3x=30$
Розв'язання.
Помножимо обидві частини першого рівняння на 5:
| $\dfrac{3x}{5}\cdot5=6\cdot5$ |
| $3x=30$ |
Вийшло друге рівняння. Число 5 відмінне від нуля, тому за третьою властивістю рівняння рівносильні. Множимо саме на 5, бо так знаменник 5 зникає.
Відповідь: так, рівняння рівносильні.
Ділити обидві частини теж можна. Наприклад, якщо поділити обидві частини рівняння $4(x+1)=20$ на 4, вийде рівносильне рівняння $x+1=5$.
Чому в третій властивості є слова «відмінне від нуля»
Рівняння $x-2=5$ має один корінь 7. Помножимо обидві його частини на 0:
$0\cdot(x-2)=0\cdot5$, тобто $0\cdot(x-2)=0$.
Добуток будь-якого числа на 0 дорівнює 0. Тому нове рівняння задовольняє будь-яке число, наприклад 100 чи −3.
Корені змінилися, отже, рівняння вже не рівносильні. Саме тому множити обидві частини на нуль не можна.
З тієї самої причини рівняння $0\cdot(x+1)=3$ не має коренів. Його ліва частина для будь-якого $x$ дорівнює 0, а 0 ≠ 3.
Приклад 10. З'ясуй, чи має корені рівняння $0:x=0$
Розв'язання.
Нуль, поділений на будь-яке число, крім нуля, дорівнює нулю. Наприклад, 0 : 5 = 0 і 0 : (−2) = 0. Тому кожне таке число є коренем.
Число 0 коренем не є. Для $x=0$ вийде запис 0 : 0, а ділити на нуль не можна. Такий запис не має значення, тож правильної рівності не вийде.
Відповідь: так, коренем є будь-яке число, крім 0.
Як перевірити себе
- Підстав знайдений корінь у рівняння з умови. Підставляй саме в рівняння з умови, а не в перетворене, бо в перетворенні могла бути помилка.
- Перевір відповідь «будь-яке число» двома різними числами. Такі підстановки не доводять твердження, бо всіх чисел не перебереш, але можуть знайти помилку. Не бери числа, які відповідь виключає словом «крім». Якщо одне з узятих чисел не підходить, у міркуваннях є помилка.
- Назви властивість для кожної зміни. Порівняй два рівняння частина за частиною і знайди, що саме змінилося. Для кожної зміни назви властивість, яка її дозволяє, бо лише такі перетворення не змінюють коренів. Якщо жодна властивість не підходить, порівняй корені обох рівнянь, якщо вмієш їх знайти.
- Переглянь знаки перенесених доданків. Кожен доданок, що перейшов через знак «=», мусить змінити знак. Якщо знак лишився той самий, рівняння вже не рівносильне початковому.
Де найчастіше помиляються
1. Від'ємне число підставили в квадрат без дужок
Завдання: перевірити, чи є число −2 коренем рівняння $x^2=5x+14$.
Неправильно
| $x^2={\color{#a72727}{-2^2}}=-4$ |
| $5\cdot(-2)+14=4$ |
| ${\color{#a72727}{-4\ne4}}$, не корінь |
Правильно
| $x^2={\color{#176b3a}{(-2)^2}}=4$ |
| $5\cdot(-2)+14=4$ |
| ${\color{#176b3a}{4=4}}$, корінь |
Що сталося: запис $-2^2$ означає «мінус квадрат числа 2», і він справді дорівнює −4. Але підставити треба було число −2, тобто помножити на себе все число:
(−2) · (−2) = 4.
Як помітити: квадрат будь-якого числа не буває від'ємним. Якщо квадрат вийшов від'ємним, ти забув дужки.
2. Вирішили, що рівняння без коренів не можуть бути рівносильними
Завдання: з'ясувати, чи рівносильні рівняння $x+3=x$ і $2-x=4-x$.
Неправильно
| Коренів немає, тому рівняння не рівносильні |
Правильно
| Обидва рівняння без коренів, тому вони рівносильні |
Що сталося: у першому рівнянні ліва частина завжди на 3 більша за праву. У другому права частина завжди на 2 більша за ліву. Коренів немає в обох, а такі рівняння за означенням рівносильні.
Як помітити: порівнюй набори коренів. Два порожні набори однакові, бо в жодного рівняння немає кореня, якого нема в іншого.
3. Перенесли доданок, не змінивши знака
Завдання: з'ясувати, чи рівносильні рівняння $x+4=9$ і $x=9+4$.
Неправильно
| Число 4 перенесли, тому рівняння рівносильні |
Правильно
| Має бути $x={\color{#176b3a}{9-4}}$ |
| Корені 5 і 13, тому рівняння не рівносильні |
Що сталося: доданок +4 перейшов у праву частину зі знаком «+». За другою властивістю він мав стати −4.
Корінь першого рівняння 5, бо 5 + 4 = 9. Корінь другого 13, бо 9 + 4 = 13.
Як помітити: знайди корінь кожного рівняння. Якщо корені різні, рівняння не рівносильні, хоч би як схоже вони виглядали.
4. Вирішили, що рівняння з множником 0 має корінь 0
Завдання: з'ясувати, скільки коренів має рівняння $0\cdot x=0$.
Неправильно
| $x=0$, один корінь |
Правильно
| Коренем є будь-яке число |
Що сталося: число 0 справді задовольняє рівняння, але воно не єдине. Наприклад, 0 · 8 = 0 і 0 · (−1) = 0.
Як помітити: знайшовши корінь, підстав ще одне-два інші числа. Якщо вони теж підходять, коренів більше ніж один.
Спробуй сам
- Які із записів є рівняннями: 7 − 2 = 5; $3y+1\gt 4$; $2a-9=a$; $5m-4$?
- Чи є число −3 коренем рівняння $x^2-2x=15$?
- Які з чисел 0, 1 і −4 є коренями рівняння $x^2+3x=4$?
- Доведи, що коренем рівняння $6(y-2)=6y-12$ є будь-яке число.
- Доведи, що рівняння $4(x-1)=4x+3$ не має коренів.
- Склади рівняння, яке має два корені: числа 6 і −6.
- Склади рівняння, яке має єдиний корінь −5.
- Чи рівносильні рівняння $x+7=10$ і $4x=12$?
- Чи рівносильні рівняння $x=5$ і $x^2=25$?
- Не розв'язуючи, з'ясуй, чи рівносильні рівняння $7(x+3)=2x$ і $7x+21=2x$.
- Не розв'язуючи, з'ясуй, чи рівносильні рівняння $9x+4=5x-8$ і $9x-5x=-8-4$.
- Не розв'язуючи, з'ясуй, чи рівносильні рівняння $-\dfrac{2x}{3}=4$ і $-2x=12$.
- Чи має корені рівняння $0\cdot(x+4)=7$?
- Які корені має рівняння $0:(x-2)=0$?
Перевірити відповіді
- Лише $2a-9=a$.
- Так: (−3)² − 2 · (−3) = 9 + 6 = 15.
- 1 і −4.
- Після розкриття дужок ліва частина дорівнює $6y-12$, як і права.
- Після розкриття дужок маємо $4x-4=4x+3$. Права частина завжди на 7 більша.
- Наприклад, $x^2=36$.
- Наприклад, $x+5=0$.
- Так, обидва рівняння мають єдиний корінь 3.
- Ні: −5 є коренем другого рівняння, але не першого.
- Так, дужки розкрито.
- Так, доданки 4 і $5x$ перенесено зі зміною знака.
- Так, обидві частини помножено на 3.
- Ні: ліва частина завжди дорівнює 0, а 0 ≠ 7.
- Будь-яке число, крім 2.
Повне розв'язання завдання 9
- 1)Рівняння $x=5$ має єдиний корінь 5.
- 2)Для рівняння $x^2=25$ перевіримо числа 5 і −5:
5² = 25 і (−5)² = 25. Отже, у нього два корені: 5 і −5. - 3)Число −5 є коренем другого рівняння, але не першого. Набори коренів різні, тому рівняння не рівносильні.
Повне розв'язання завдання 14
Нуль, поділений на будь-яке число, крім нуля, дорівнює нулю. Тому підходить кожне значення $x$, для якого $x-2\ne0$.
Для $x=2$ дільник дорівнює 2 − 2 = 0, а ділити на нуль не можна. Отже, корені рівняння — усі числа, крім 2.
Якщо твоя відповідь не збіглася, подивись розділ «Де найчастіше помиляються». Найчастіше причина в загубленому мінусі: у квадраті від'ємного числа або в перенесеному доданку.
Для батьків
Попросіть дитину пояснити, чим рівняння $2x+1=7$ відрізняється від виразу $2x+1$. Правильна відповідь така: у рівнянні є знак «=», тому можна шукати значення $x$, а вираз лише обчислюють.
Запитайте, чи є число −3 коренем рівняння $x^2=9$. Правильна відповідь «так», бо (−3)² = 9. Якщо дитина каже «ні», попросіть її записати −3 у дужках і піднести до квадрата ще раз.
Запитайте, чому обидві частини рівняння не можна множити на нуль. Дитина має пояснити, що тоді будь-яке число стане коренем і корені зміняться.