Сторінка 113
Середній рівень
1. (1 бал.) На малюнку прямі $CM$ і $DN$ перетинає пряма $AB$ у точках $K$ і $L$. Запишіть:
1) усі промені з початком у точці $L$;
2) пари доповняльних променів, початок яких – точка $K$.
Розв'язок:
1) Через точку $L$ проходять прямі $DN$ і $AB$, кожна з них ділиться точкою $L$ на два промені. Промінь $LK$ — це той самий промінь, що й $LA$.
2) Через точку $K$ проходять прямі $CM$ і $AB$. Доповняльні промені лежать на одній прямій і мають спільний початок. Промінь $KL$ — це той самий промінь, що й $KB$.
Відповідь: 1) $LD$, $LN$, $LA$, $LB$;
2) $KC$ і $KM$; $KA$ і $KB$.
2. (1 бал.) Накресліть відрізки $MN$ і $AD$ так, щоб $MN = 8$ см 3 мм, $AD = 6$ см 9 мм. Порівняйте відрізки $MN$ та $AD$.
Розв'язок:
За допомогою лінійки відкладаємо відрізок $MN$ завдовжки 8 см 3 мм і відрізок $AD$ завдовжки 6 см 9 мм.
$MN = 83$ мм, $AD = 69$ мм, $83 \gt 69$.
Відповідь: $MN \gt AD$.
3. (1 бал.) Промінь $OP$ проходить між сторонами кута $COB$. Знайдіть градусну міру кута $COP$, якщо $\angle COB = 80^\circ$, $\angle POB = 30^\circ$.
Розв'язок:
Промінь $OP$ проходить між сторонами кута $COB$, тому $\angle COP + \angle POB = \angle COB$.
$\angle COP = 80^\circ - 30^\circ = 50^\circ$.
Відповідь: $50^\circ$.
Достатній рівень
1. (1 бал.) На прямій позначено точки $A$, $B$ і $C$, причому $AB = 31$ мм, $AC = 8$ см 3 мм, $BC = 52$ мм. Яка з точок лежить між двома іншими? Відповідь обґрунтуйте.
Розв'язок:
$AC = 8$ см 3 мм $= 83$ мм.
$AB + BC = 31 + 52 = 83$ (мм), тобто $AB + BC = AC$.
Отже, точка $B$ лежить між точками $A$ і $C$. Інші точки між двома іншими лежати не можуть: $AC$ — найдовший з трьох відрізків, тому $AB + AC \ne BC$ і $AC + BC \ne AB$.
Відповідь: точка $B$, бо $AB + BC = AC$.
2. (2 бали.) Знайдіть кут між прямими, що перетинаються, якщо один з утворених кутів на $50^\circ$ більший за інший.
Розв'язок:
При перетині двох прямих утворюються дві пари вертикальних кутів; нерівні кути — суміжні, їхня сума дорівнює $180^\circ$. Нехай менший кут дорівнює $x^\circ$, тоді більший — $(x + 50)^\circ$.
$x + x + 50 = 180$
$2x = 130$
$x = 65$
Кут між прямими — менший з утворених кутів, тобто $65^\circ$.
Відповідь: $65^\circ$.
Високий рівень
1. (1 бал.) На малюнку: $\angle AOC = 10^\circ$, $\angle MOD = 72^\circ$. Знайдіть $\angle NOB$.
Розв'язок:
$\angle DOB = \angle AOC = 10^\circ$ (як вертикальні).
Промінь $OD$ проходить між сторонами кута $MOB$, тому
$\angle MOB = \angle MOD + \angle DOB = $
$= 72^\circ + 10^\circ = 82^\circ$.
$\angle NOB = 180^\circ - \angle MOB = $
$= 180^\circ - 82^\circ = 98^\circ$ (як суміжні).
Відповідь: $98^\circ$.
2. (2 бали.) Відрізок $AB$ завдовжки 22,8 см поділено на три частини. Довжини двох з них відносяться як $1 : 2$, а третя – на 1,8 см довша за більшу з двох інших частин. Знайдіть довжини цих частин.
Розв'язок:
Нехай менша з двох частин дорівнює $x$ см, тоді більша — $2x$ см, а третя — $(2x + 1{,}8)$ см. Сума частин дорівнює довжині відрізка:
$x + 2x + 2x + 1{,}8 = 22{,}8$
$5x = 21$
$x = 4{,}2$
$2x = 2 \cdot 4{,}2 = 8{,}4$ (см);
$2x + 1{,}8 = 8{,}4 + 1{,}8 = 10{,}2$ (см).
Відповідь: $4{,}2$ см, $8{,}4$ см і $10{,}2$ см.