Сторінка 112
ЕК-1 [2М]. Елементарні геометричні фігури та їхні властивості. Суміжні та вертикальні кути
Варіант 1
Середній рівень
1. (1 бал.) На малюнку прямі $AK$ і $BL$ перетинає пряма $CD$ в точках $M$ і $N$. Запишіть:
1) усі промені з початком у точці $M$;
2) пари доповняльних променів, початок яких – точка $N$.
Розв'язок:
1) Через точку $M$ проходять прямі $AK$ і $CD$, кожна з них ділиться точкою $M$ на два промені. Промінь $MN$ — це той самий промінь, що й $MD$.
2) Через точку $N$ проходять прямі $BL$ і $CD$. Доповняльні промені лежать на одній прямій і мають спільний початок. Промінь $NM$ — це той самий промінь, що й $NC$.
Відповідь: 1) $MA$, $MK$, $MC$, $MD$;
2) $NB$ і $NL$; $NC$ і $ND$.
2. (1 бал.) Накресліть відрізки $AL$ і $PN$ так, щоб $AL = 5$ см 8 мм, $PN = 7$ см 2 мм. Порівняйте відрізки $AL$ і $PN$.
Розв'язок:
За допомогою лінійки відкладаємо відрізок $AL$ завдовжки 5 см 8 мм і відрізок $PN$ завдовжки 7 см 2 мм.
$AL = 58$ мм, $PN = 72$ мм, $58 \lt 72$.
Відповідь: $AL \lt PN$.
3. (1 бал.) Промінь $OA$ проходить між сторонами кута $MON$. Знайдіть градусну міру кута $MOA$, якщо $\angle AON = 20^\circ$, $\angle MON = 70^\circ$.
Розв'язок:
Промінь $OA$ проходить між сторонами кута $MON$, тому $\angle MOA + \angle AON = \angle MON$.
$\angle MOA = 70^\circ - 20^\circ = 50^\circ$.
Відповідь: $50^\circ$.
Достатній рівень
1. (1 бал.) На прямій позначено точки $M$, $N$ і $K$, причому $KN = 27$ мм, $KM = 89$ мм, $NM = 6$ см 2 мм. Яка з точок лежить між двома іншими? Відповідь обґрунтуйте.
Розв'язок:
$NM = 6$ см 2 мм $= 62$ мм.
$KN + NM = 27 + 62 = 89$ (мм), тобто $KN + NM = KM$.
Отже, точка $N$ лежить між точками $K$ і $M$. Інші точки між двома іншими лежати не можуть: $KM$ — найдовший з трьох відрізків, тому $KN + KM \ne NM$ і $KM + NM \ne KN$.
Відповідь: точка $N$, бо $KN + NM = KM$.
2. (2 бали.) Знайдіть кут між прямими, що перетинаються, якщо один з утворених кутів на $70^\circ$ менший від іншого.
Розв'язок:
При перетині двох прямих утворюються дві пари вертикальних кутів; нерівні кути — суміжні, їхня сума дорівнює $180^\circ$. Нехай менший кут дорівнює $x^\circ$, тоді більший — $(x + 70)^\circ$.
$x + x + 70 = 180$
$2x = 110$
$x = 55$
Кут між прямими — менший з утворених кутів, тобто $55^\circ$.
Відповідь: $55^\circ$.
Високий рівень
1. (1 бал.) На малюнку: $\angle MAK = 20^\circ$, $\angle PAN = 112^\circ$. Знайдіть $\angle QAL$.
Розв'язок:
$\angle MAP = 180^\circ - \angle PAN = $
$= 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ$ (як суміжні).
Промінь $AK$ проходить між сторонами кута $MAP$, тому
$\angle KAP = \angle MAP - \angle MAK = $
$= 68^\circ - 20^\circ = 48^\circ$.
$\angle QAL = \angle KAP = 48^\circ$ (як вертикальні).
Відповідь: $48^\circ$.
2. (2 бали.) Відрізок $MN$ завдовжки 23,4 см поділено на три частини. Довжини двох з них відносяться як $1 : 2$, а третя – на 2,2 см коротша від меншої з двох інших частин. Знайдіть довжини цих частин.
Розв'язок:
Нехай менша з двох частин дорівнює $x$ см, тоді друга — $2x$ см, а третя — $(x - 2{,}2)$ см. Сума частин дорівнює довжині відрізка:
$x + 2x + x - 2{,}2 = 23{,}4$
$4x = 25{,}6$
$x = 6{,}4$
$2x = 2 \cdot 6{,}4 = 12{,}8$ (см);
$x - 2{,}2 = 6{,}4 - 2{,}2 = 4{,}2$ (см).
Відповідь: $6{,}4$ см, $12{,}8$ см і $4{,}2$ см.