Сторінка 118
Степінь з натуральним показником
Варіант 1
С–3А
1. Доведіть тотожність:
1) $-(2a - b) = b - 2a$;
2) $2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x$.
Розв'язок:
1) Перетворимо ліву частину:
$-(2a - b) = -2a + b = b - 2a$.
Отримали праву частину, отже, тотожність доведено.
2) Перетворимо ліву частину:
$2(x - 3) + 3(x + 2) =$
$= 2x - 6 + 3x + 6 = 5x$.
Отримали праву частину, отже, тотожність доведено.
2. Обчисліть:
1) $6 \cdot 2^2 + 4^3$;
2) $-3^1 - (-1)^3$;
3) $2^4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4$;
4) $\frac{3^3 \cdot 3^4}{3^6}$.
Розв'язок:
1) $6 \cdot 2^2 + 4^3 = 6 \cdot 4 + 64 = 24 + 64 = 88$;
2) $-3^1 - (-1)^3 = -3 - (-1) =$
$= -3 + 1 = -2$;
3) $2^4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 16 \cdot \frac{1}{16} = 1$;
4) $\frac{3^3 \cdot 3^4}{3^6} = \frac{3^7}{3^6} = 3^{7-6} = 3$.
3. Спростіть вираз:
1) $c^2 \cdot c^3 : c^4$;
2) $(a^2)^3 \cdot a$;
3) $(-2x)^4$;
4) $((m^2)^3)^4$.
Розв'язок:
1) $c^2 \cdot c^3 : c^4 = c^5 : c^4 = c$;
2) $(a^2)^3 \cdot a = a^6 \cdot a = a^7$;
3) $(-2x)^4 = (-2)^4x^4 = 16x^4$;
4) $((m^2)^3)^4 = (m^6)^4 = m^{24}$.
С–3Б
1. Доведіть тотожність $5a - (-(10a + 25)) = 5(3a + 5)$.
Розв'язок:
Перетворимо ліву частину:
$5a - (-(10a + 25)) =$
$= 5a + (10a + 25) =$
$= 5a + 10a + 25 = 15a + 25$.
Перетворимо праву частину:
$5(3a + 5) = 15a + 25$.
Ліва і права частини дорівнюють тому самому виразу $15a + 25$, отже, тотожність доведено.
2. Обчисліть:
1) $0{,}5 \cdot (-2)^2 - 81 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4$;
2) $(-0{,}2)^3 + 0{,}4^1$;
3) $0{,}5^2 \cdot 200^2$;
4) $\frac{64 \cdot 4^5}{4^7}$.
Розв'язок:
1) $0{,}5 \cdot (-2)^2 - 81 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4 =$
$= 0{,}5 \cdot 4 - 81 \cdot \frac{1}{81} = 2 - 1 = 1$;
2) $(-0{,}2)^3 + 0{,}4^1 = -0{,}008 + 0{,}4 = 0{,}392$;
3) $0{,}5^2 \cdot 200^2 = (0{,}5 \cdot 200)^2 =$
$= 100^2 = 10\,000$;
4) $\frac{64 \cdot 4^5}{4^7} = \frac{4^3 \cdot 4^5}{4^7} = \frac{4^8}{4^7} = 4$.
3. Спростіть вираз:
1) $(a^7)^2 \cdot (a^3)^4$;
2) $\frac{m \cdot m^7}{m^6}$;
3) $(-3mk)^3$;
4) $(((-a)^3)^2)^5$.
Розв'язок:
1) $(a^7)^2 \cdot (a^3)^4 = a^{14} \cdot a^{12} = a^{26}$;
2) $\frac{m \cdot m^7}{m^6} = \frac{m^8}{m^6} = m^2$;
3) $(-3mk)^3 = (-3)^3m^3k^3 = -27m^3k^3$;
4) $(((-a)^3)^2)^5 = (-a)^{30} = a^{30}$.
С–3В
1. Доведіть, що коли $m$ – натуральне число, то значення виразу $-2(0{,}5m - 17) + 6(1{,}5m - 3)$ кратне числу 8.
Розв'язок:
Спростимо вираз:
$-2(0{,}5m - 17) + 6(1{,}5m - 3) =$
$= -m + 34 + 9m - 18 = 8m + 16 =$
$= 8(m + 2)$.
Якщо $m$ – натуральне число, то $m + 2$ – теж натуральне число, тому добуток $8(m + 2)$ ділиться на 8. Отже, значення виразу кратне числу 8, що й треба було довести.
2. Обчисліть:
1) $-4^2 \cdot \frac{1}{24} + \left(\frac{4}{9}\right)^1$;
2) $\left(-2\frac{1}{2}\right)^2 + (-2)^3$;
3) $2{,}3^4 \cdot \left(\frac{10}{23}\right)^4$;
4) $\frac{100^7 \cdot 10^4}{2^{17} \cdot 5^{17}}$.
Розв'язок:
1) $-4^2 \cdot \frac{1}{24} + \left(\frac{4}{9}\right)^1 = -16 \cdot \frac{1}{24} + \frac{4}{9} =$
$= -\frac{2}{3} + \frac{4}{9} = -\frac{6}{9} + \frac{4}{9} = -\frac{2}{9}$;
2) $\left(-2\frac{1}{2}\right)^2 + (-2)^3 = \left(-\frac{5}{2}\right)^2 + (-8) =$
$= \frac{25}{4} - 8 = 6\frac{1}{4} - 8 = -1\frac{3}{4}$;
3) $2{,}3^4 \cdot \left(\frac{10}{23}\right)^4 =$
$= \left(\frac{23}{10} \cdot \frac{10}{23}\right)^4 = 1^4 = 1$;
4) $\frac{100^7 \cdot 10^4}{2^{17} \cdot 5^{17}} = \frac{(10^2)^7 \cdot 10^4}{(2 \cdot 5)^{17}} = \frac{10^{14} \cdot 10^4}{10^{17}} =$
$= \frac{10^{18}}{10^{17}} = 10$.
3. Спростіть вираз:
1) $\frac{(a^3)^2 \cdot a^7}{a^{10}}$;
2) $\frac{(m \cdot m^2)^2}{m^5}$;
3) $\left(-\frac{2}{3}ax\right)^3$;
4) $(x^{n+5})^2 : ((-x^3)^2)$, де $n$ – натуральне число.
Розв'язок:
1) $\frac{(a^3)^2 \cdot a^7}{a^{10}} = \frac{a^6 \cdot a^7}{a^{10}} = \frac{a^{13}}{a^{10}} = a^3$;
2) $\frac{(m \cdot m^2)^2}{m^5} = \frac{(m^3)^2}{m^5} = \frac{m^6}{m^5} = m$;
3) $\left(-\frac{2}{3}ax\right)^3 = \left(-\frac{2}{3}\right)^3a^3x^3 = -\frac{8}{27}a^3x^3$;
4) $(-x^3)^2 = x^6$, тому
$(x^{n+5})^2 : ((-x^3)^2) =$
$= x^{2n+10} : x^6 = x^{2n+4}$.