№ 7 ЗПС Геометрія = № 7 ЗПС Математика
Дано п’ять прямих, кожні дві з яких перетинаються. Відомо, що через точку перетину будь-яких двох з них проходить принаймні ще одна з даних прямих. Доведіть, що всі ці прямі проходять через одну точку.
Розв'язок:
1) Нехай прямі a і b перетинаються в точці O. За умовою через O проходить ще одна з даних прямих — c.
2) Припустимо, що одна з даних прямих, d, не проходить через точку O. Тоді d перетинає прямі a, b і c у трьох різних точках A, B і C (мал.).
3) Через точку A, крім прямих a і d, має проходити ще одна з даних прямих. Це не b і не c (вони перетинають пряму a лише в точці O), отже, це п’ята пряма e. Так само пряма e проходить через точки B і C.
4) Тоді прямі d і e мають дві спільні точки A і B, отже, збігаються (через дві точки можна провести лише одну пряму). Суперечність.
5) Отже, усі п’ять прямих проходять через точку O, що й треба було довести.