№ 811 Геометрія = № 18 ВПТ 10 Математика
Умова:
Центр кола, вписаного у трикутник, лежить на перетині двох медіан трикутника. Доведіть, що трикутник рівносторонній.
Розв'язок:
Нехай BD і CK — медіани, O — центр кола, вписаного в ΔABC.
Оскільки O — точка перетину бісектрис, то BD і CK — бісектриси, медіани і висоти, а бісектриси, медіани і висоти співпадають тільки в рівносторонньому трикутнику. Отже, ΔABC — рівносторонній.
