№ 24 ЗПС Алгебра = № 24 ЗПС Математика
Умова:
Число b є середнім арифметичним чисел a і c. Доведіть, що a2 + ac + c2 є середнім арифметичним чисел a2 + ab + b2 і b2 + bc + c2.
Розв'язок:
Якщо число b є середнім арифметичним чисел а і с, то b = $\frac{a + c}{2}$.
Маємо:
$\frac{(а^2 + ab + b^2) + (b^2 + bс + с^2)}{2}$ = $\frac{а^2ab + 2b^2bc + c^2}{2}$ = $\frac{a^2 + 2b^2 + c^2 + b(a + c)}{2}$ = $\frac{a^2 + 2(\frac{a + c}{2})^2 + c^2 + \frac{a + c}{2}(a + c)}{2}$ = $\frac{a^2 + \frac{(a + c)^2}{2} + c^2 + \frac{(a + c)^2}{2}}{2}$ = $\frac{a^2 + (a + c)^2 + c^2}{2}$ = $\frac{a^2 + a^2 + 2ac + c^2 + c^2}{2}$ = $\frac{2(a^2 + ac + c^2)}{2}$ = a2 + ac + c2.
Отже, число а2 + ас + с2 є середнім арифметичним чисел a2 + ab + b2 і b2 + bс + c2.