№ 297 Алгебра = № 11.34 Математика
Умова:
У чемпіонаті міста з футболу беруть участь 11 команд. Кожна команда грає з іншими по одному матчу. Доведіть, що в будь–який момент змагань знайдеться команда, яка до цього моменту провела або парну кількість матчів, або ще не провела жодного.
Розв'язок:
Розглянемо ситуацію, коли проводиться новий матч між двома командами. До цього моменту кожна команда мала або парну, або непарну кількість матчів.
- Якщо обидві команди мали парну кількість матчів до цього моменту, то після матчу обидві ці команди будуть мати непарну кількість матчів.
- Якщо обидві команди мали непарну кількість матчів до цього моменту, то після матчу вони матимуть парну кількість матчів.
- Якщо одна команда мала парну кількість матчів, а інша — непарну, то після матчу одна матиме непарну кількість матчів, а інша — парну.
Отже, після кожного матчу кількість команд з парною кількістю матчів змінюється: якщо до матчу було парна кількість таких команд, після нього буде непарна кількість, і навпаки.
Відповідь:
Оскільки кількість команд з парною кількістю матчів змінюється на кожному кроці, завжди буде хоча б одна команда, яка має парну кількість матчів або ще не провела жодного матчу. Тому твердження виконується на кожному етапі змагань.