Сторінка 76
8. Побудуйте кут $70^\circ$ і геометричне місце точок, рівновіддалених від сторін цього кута, що належать внутрішній області кута.
Розв'язок:
Геометричне місце точок, рівновіддалених від сторін кута, що належать його внутрішній області, — бісектриса цього кута.
Транспортиром будуємо $\angle A = 70^\circ$. Будуємо його бісектрису:
1) дугою довільного радіуса із центром у точці $A$ перетинаємо сторони кута в точках $B$ і $C$;
2) з точок $B$ і $C$ тим самим радіусом проводимо дуги до їх перетину в точці $D$ усередині кута;
3) проводимо промінь $AD$.
Відповідь: бісектриса $AD$ кута $A$ ($\angle BAD = \angle DAC = 35^\circ$).
9. Позначте точки $A$ і $B$, відстань між якими 5 см. Знайдіть геометричне місце точок, віддалених від точки $A$ на 4 см, а від точки $B$ – на 3 см.
Розв'язок:
Точки, віддалені від точки $A$ на 4 см, утворюють коло із центром $A$ радіуса 4 см, а віддалені від точки $B$ на 3 см — коло із центром $B$ радіуса 3 см. Шукані точки лежать на обох колах, тобто є точками їх перетину.
Позначаємо точки $A$ і $B$, $AB = 5$ см, і проводимо обидва кола. Оскільки $4 - 3 \lt 5 \lt 4 + 3$, кола перетинаються у двох точках $M$ і $N$.
Відповідь: дві точки $M$ і $N$ — точки перетину цих кіл.
10. Позначте точки $C$ і $D$, відстань між якими 4 см. Знайдіть геометричне місце точок, віддалених від кожної з даних точок на 3 см.
Розв'язок:
Точки, віддалені від точки $C$ на 3 см, утворюють коло із центром $C$ радіуса 3 см, а віддалені від точки $D$ на 3 см — коло із центром $D$ радіуса 3 см. Шукані точки — точки перетину цих кіл.
Позначаємо точки $C$ і $D$, $CD = 4$ см, і проводимо обидва кола. Оскільки $3 - 3 \lt 4 \lt 3 + 3$, кола перетинаються у двох точках $M$ і $N$.
Відповідь: дві точки $M$ і $N$ — точки перетину цих кіл.
11. Знайдіть геометричне місце точок, рівновіддалених від усіх вершин трикутника.
Розв'язок:
Нехай $ABC$ — даний трикутник. Точки, рівновіддалені від вершин $A$ і $B$, лежать на серединному перпендикулярі до відрізка $AB$, а рівновіддалені від вершин $B$ і $C$ — на серединному перпендикулярі до відрізка $BC$. Ці серединні перпендикуляри перетинаються в одній точці $O$. Для неї $OA = OB$ і $OB = OC$, тобто $OA = OB = OC$.
Отже, шукане геометричне місце — одна точка $O$: точка перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника, тобто центр кола, описаного навколо трикутника.
Відповідь: точка перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника (центр описаного кола).
12. Побудуйте геометричне місце точок, що містяться на відстані 2,5 см від заданої прямої.
Розв'язок:
Геометричне місце точок, віддалених від даної прямої на задану відстань, — дві прямі, паралельні даній, кожна точка яких міститься на заданій відстані від неї.
Нехай $a$ — задана пряма. Через довільну точку $M$ прямої $a$ проводимо пряму, перпендикулярну до $a$, і відкладаємо на ній по обидва боки від точки $M$ відрізки $MM_1 = MM_2 = 2{,}5$ см. Через точки $M_1$ і $M_2$ проводимо прямі $b_1$ і $b_2$, перпендикулярні до прямої $M_1M_2$. Тоді $b_1 \parallel a$ і $b_2 \parallel a$.
Відповідь: дві прямі $b_1$ і $b_2$, паралельні заданій прямій і віддалені від неї на 2,5 см.
13. Побудуйте геометричне місце точок, що містяться на відстані 2 см від заданої прямої.
Розв'язок:
Шукане геометричне місце — дві прямі, паралельні заданій прямій $a$ і віддалені від неї на 2 см.
Як у № 12: через довільну точку $M$ прямої $a$ проводимо перпендикуляр до $a$ і відкладаємо на ньому по обидва боки від точки $M$ відрізки $MM_1 = MM_2 = 2$ см. Через точки $M_1$ і $M_2$ проводимо прямі $b_1$ і $b_2$, перпендикулярні до прямої $M_1M_2$.
Відповідь: дві прямі $b_1$ і $b_2$, паралельні заданій прямій і віддалені від неї на 2 см.
14. Відстань між точками $A$ і $B$ дорівнює 2 см. Побудуйте коло, радіус якого 3 см, що проходить через точки $A$ і $B$. Скільки розв'язків має задача?
Розв'язок:
Центр $O$ шуканого кола віддалений від точок $A$ і $B$ на 3 см: $OA = OB = 3$ см. Тому точка $O$ лежить і на колі із центром $A$ радіуса 3 см, і на колі із центром $B$ радіуса 3 см. Оскільки $3 - 3 \lt 2 \lt 3 + 3$, ці кола перетинаються у двох точках $O_1$ і $O_2$.
Побудова: з точок $A$ і $B$ радіусом 3 см проводимо дуги до перетину в точках $O_1$ і $O_2$. Із центрами $O_1$ і $O_2$ радіусом 3 см проводимо кола — кожне з них проходить через точки $A$ і $B$.
Відповідь: два розв'язки.
15. Знайдіть геометричне місце центрів кіл, що проходять через точку $C$ і мають радіус 2,5 см.
Розв'язок:
Якщо коло радіуса 2,5 см із центром $O$ проходить через точку $C$, то $OC = 2{,}5$ см. І навпаки: коло радіуса 2,5 см із центром у будь-якій точці $O$, для якої $OC = 2{,}5$ см, проходить через точку $C$. Точки, віддалені від точки $C$ на 2,5 см, утворюють коло із центром $C$ радіуса 2,5 см.
Відповідь: коло із центром у точці $C$, радіус якого 2,5 см.
16. Знайдіть геометричне місце центрів кіл радіусом 2,5 см, що дотикаються до заданої прямої.
Розв'язок:
Нехай $a$ — задана пряма. Відстань від центра кола до дотичної дорівнює радіусу, тому центр кожного такого кола віддалений від прямої $a$ на 2,5 см. І навпаки: коло радіуса 2,5 см, центр якого віддалений від прямої $a$ на 2,5 см, дотикається до неї.
Точки, віддалені від прямої $a$ на 2,5 см, утворюють дві прямі $b_1$ і $b_2$, паралельні прямій $a$.
Відповідь: дві прямі, паралельні заданій прямій і віддалені від неї на 2,5 см.
17. Знайдіть геометричне місце центрів кіл, що дотикаються до заданої прямої $a$ в точці $A$.
Розв'язок:
Дотична до кола перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику. Тому центр $O$ кожного такого кола лежить на прямій, що проходить через точку $A$ перпендикулярно до прямої $a$. І навпаки: коло із центром $O$ на цій прямій і радіусом $OA$ дотикається до прямої $a$ в точці $A$, бо відстань від $O$ до прямої $a$ дорівнює радіусу $OA$.
Сама точка $A$ центром бути не може: коло із центром на прямій $a$ її перетинає.
Відповідь: пряма, що перпендикулярна до прямої $a$ і проходить через точку $A$, без цієї точки.
18. Відрізок $MN = 5$ см – основа рівнобедреного трикутника. Знайдіть геометричне місце вершин рівнобедреного трикутника, основою якого є $MN$.
Розв'язок:
Вершина $P$ рівнобедреного трикутника з основою $MN$ рівновіддалена від кінців основи: $PM = PN$. Геометричне місце точок, рівновіддалених від кінців відрізка, — серединний перпендикуляр до цього відрізка.
Середина $K$ відрізка $MN$ не підходить: точки $M$, $K$ і $N$ лежать на одній прямій і трикутника не утворюють.
Відповідь: серединний перпендикуляр до відрізка $MN$ без середини $K$ цього відрізка.
19. Довжина відрізка $AB$ дорівнює 3 см. Знайдіть геометричне місце точок центрів кіл, що проходять через точки $A$ і $B$.
Розв'язок:
Центр $O$ кола, що проходить через точки $A$ і $B$, рівновіддалений від них: $OA = OB$ (як радіуси). Тому точка $O$ лежить на серединному перпендикулярі до відрізка $AB$. І навпаки: коло із центром у будь-якій точці $O$ серединного перпендикуляра і радіусом $OA$ проходить і через точку $B$, бо $OB = OA$.
Відповідь: серединний перпендикуляр до відрізка $AB$.
20. На стороні $AB$ різностороннього трикутника $ABC$ знайдіть точку, рівновіддалену від сторін $AC$ і $BC$ цього трикутника.
Розв'язок:
Точки сторони $AB$ належать внутрішній області кута $ACB$. Точки внутрішньої області кута, рівновіддалені від його сторін, лежать на бісектрисі кута. Тому шукана точка — точка $L$ перетину бісектриси кута $C$ зі стороною $AB$.
Будуємо бісектрису кута $ACB$ (як у № 8); вона перетинає сторону $AB$ у точці $L$.
Відповідь: точка перетину бісектриси кута $C$ зі стороною $AB$.
21. Задано прямокутний $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$). Знайдіть на стороні $AC$ точку, рівновіддалену від сторін $BA$ і $BC$ цього трикутника.
Розв'язок:
Точки сторони $AC$ належать внутрішній області кута $ABC$. Точки внутрішньої області кута, рівновіддалені від його сторін, лежать на бісектрисі кута. Тому шукана точка — точка $K$ перетину бісектриси кута $B$ зі стороною $AC$.
Будуємо бісектрису кута $ABC$ (як у № 8); вона перетинає сторону $AC$ у точці $K$.
Відповідь: точка перетину бісектриси кута $B$ зі стороною $AC$.
22. Знайдіть геометричне місце точок, відстань від яких не перевищує 2,5 см від заданої прямої.
Розв'язок:
Нехай $a$ — задана пряма. Точки, віддалені від прямої $a$ рівно на 2,5 см, утворюють дві прямі $b_1$ і $b_2$, паралельні прямій $a$ (по обидва боки від неї). Точки, відстань від яких до прямої $a$ менша від 2,5 см, лежать між прямими $b_1$ і $b_2$.
Відповідь: частина площини між двома прямими, паралельними заданій прямій і віддаленими від неї на 2,5 см, разом із цими прямими.
23. Дано пряму $a$ і точку $A$ на відстані 3 см від прямої $a$. Знайдіть геометричне місце точок, які віддалені від прямої $a$ на 2 см, а від точки $A$ – на 2,5 см. Скільки розв'язків має задача?
Розв'язок:
1) Точки, віддалені від прямої $a$ на 2 см, лежать на двох прямих $b_1$ і $b_2$, паралельних прямій $a$: пряма $b_1$ — з того самого боку від $a$, що й точка $A$, пряма $b_2$ — з іншого боку.
2) Точки, віддалені від точки $A$ на 2,5 см, лежать на колі із центром $A$ радіуса 2,5 см.
3) Шукані точки — спільні точки кола і прямих $b_1$, $b_2$.
Відстань від точки $A$ до прямої $b_1$ дорівнює $3 - 2 = 1$ (см), а $1 \lt 2{,}5$, тому коло перетинає пряму $b_1$ у двох точках $M$ і $N$. Відстань від точки $A$ до прямої $b_2$ дорівнює $3 + 2 = 5$ (см), а $5 \gt 2{,}5$, тому коло і пряма $b_2$ спільних точок не мають.
Відповідь: дві точки $M$ і $N$; задача має два розв'язки.
24. Дано пряму $b$ і точку $B$ на відстані 2 см від прямої $b$. Знайдіть геометричне місце точок, які віддалені від прямої $b$ на 1,5 см, а від точки $B$ – на 4 см. Скільки розв'язків має задача?
Розв'язок:
1) Точки, віддалені від прямої $b$ на 1,5 см, лежать на двох прямих $b_1$ і $b_2$, паралельних прямій $b$: пряма $b_1$ — з того самого боку від $b$, що й точка $B$, пряма $b_2$ — з іншого боку.
2) Точки, віддалені від точки $B$ на 4 см, лежать на колі із центром $B$ радіуса 4 см.
3) Шукані точки — спільні точки кола і прямих $b_1$, $b_2$.
Відстань від точки $B$ до прямої $b_1$ дорівнює $2 - 1{,}5 = 0{,}5$ (см), а до прямої $b_2$ — $2 + 1{,}5 = 3{,}5$ (см). Обидві відстані менші від 4 см, тому коло перетинає кожну з прямих у двох точках: $b_1$ — у точках $M$ і $N$, $b_2$ — у точках $K$ і $L$.
Відповідь: чотири точки $M$, $N$, $K$, $L$; задача має чотири розв'язки.