Сторінка 56
Коло. Круг
498. На малюнку 176 зображено коло із центром у точці $O$. Які з відрізків на малюнку є:
1) радіусами кола;
2) діаметрами кола;
3) хордами кола?
Мал. 176
Розв'язок:
1) Радіус сполучає центр кола з точкою кола: $OL$, $OM$, $OK$.
2) Діаметр — хорда, що проходить через центр кола: $MK$.
3) Хорда сполучає дві точки кола: $MC$, $CD$, $MK$. Відрізки $DB$ і $TK$ не є хордами, бо точки $B$ і $T$ не лежать на колі.
Відповідь: 1) $OL$, $OM$, $OK$;
2) $MK$;
3) $MC$, $CD$, $MK$.
499. Знайдіть на малюнку 176 хорду, що проходить через центр кола. Як називають таку хорду?
Розв'язок:
Через центр $O$ проходить хорда $MK$ (мал. 176). Хорду, що проходить через центр кола, називають діаметром.
Відповідь: $MK$; діаметр.
500. Накресліть коло із центром у точці $O$, радіус якого дорівнює 34 мм. Проведіть радіус $OM$, діаметр $AB$ і хорду $NK$ цього кола.
Розв'язок:
Розхилом циркуля 34 мм (3 см 4 мм) проводимо коло із центром у точці $O$. Сполучаємо центр $O$ з точкою $M$ кола — радіус $OM$. Через центр $O$ проводимо хорду $AB$ — діаметр. Сполучаємо дві точки кола $N$ і $K$ — хорда $NK$.
501. Накресліть коло із центром у точці $O$, радіус якого дорівнює 32 мм. Проведіть радіус $ON$, діаметр $CD$ і хорду $KL$ цього кола.
Розв'язок:
Розхилом циркуля 32 мм (3 см 2 мм) проводимо коло із центром у точці $O$. Сполучаємо центр $O$ з точкою $N$ кола — радіус $ON$. Через центр $O$ проводимо хорду $CD$ — діаметр. Сполучаємо дві точки кола $K$ і $L$ — хорда $KL$.
502. Обчисліть діаметр кола, якщо його радіус дорівнює:
1) 7 см;
2) 8 мм;
3) 4,2 дм;
4) 3,15 см.
Розв'язок:
Діаметр удвічі більший за радіус: $d = 2r$.
1) $d = 2 \cdot 7 = 14$ (см).
2) $d = 2 \cdot 8 = 16$ (мм).
3) $d = 2 \cdot 4{,}2 = 8{,}4$ (дм).
4) $d = 2 \cdot 3{,}15 = 6{,}3$ (см).
Відповідь: 1) $14$ см;
2) $16$ мм;
3) $8{,}4$ дм;
4) $6{,}3$ см.
503. Знайдіть діаметр кола, якщо його радіус дорівнює:
1) 5 дм;
2) 9 см;
3) 5,3 мм;
4) 2,35 дм.
Розв'язок:
$d = 2r$.
1) $d = 2 \cdot 5 = 10$ (дм).
2) $d = 2 \cdot 9 = 18$ (см).
3) $d = 2 \cdot 5{,}3 = 10{,}6$ (мм).
4) $d = 2 \cdot 2{,}35 = 4{,}7$ (дм).
Відповідь: 1) $10$ дм;
2) $18$ см;
3) $10{,}6$ мм;
4) $4{,}7$ дм.
504. Знайдіть радіус кола, якщо його діаметр дорівнює:
1) 18 см;
2) 7 мм;
3) 5,2 дм;
4) 3,7 см.
Розв'язок:
Радіус удвічі менший від діаметра: $r = d : 2$.
1) $r = 18 : 2 = 9$ (см).
2) $r = 7 : 2 = 3{,}5$ (мм).
3) $r = 5{,}2 : 2 = 2{,}6$ (дм).
4) $r = 3{,}7 : 2 = 1{,}85$ (см).
Відповідь: 1) $9$ см;
2) $3{,}5$ мм;
3) $2{,}6$ дм;
4) $1{,}85$ см.
505. Обчисліть радіус кола, якщо його діаметр дорівнює:
1) 16 дм;
2) 9 см;
3) 7,2 см;
4) 4,9 мм.
Розв'язок:
$r = d : 2$.
1) $r = 16 : 2 = 8$ (дм).
2) $r = 9 : 2 = 4{,}5$ (см).
3) $r = 7{,}2 : 2 = 3{,}6$ (см).
4) $r = 4{,}9 : 2 = 2{,}45$ (мм).
Відповідь: 1) $8$ дм;
2) $4{,}5$ см;
3) $3{,}6$ см;
4) $2{,}45$ мм.
506. Дано коло із центром у точці $O$. Скільки спільних точок з колом має:
1) промінь $OM$;
2) пряма $ON$?
Розв'язок:
Усі точки кола віддалені від центра $O$ на відстань, що дорівнює радіусу.
1) Промінь $OM$ починається в центрі $O$, і на ньому лише одна точка віддалена від $O$ на відстань, що дорівнює радіусу (точка $A$ на малюнку). Отже, промінь має з колом одну спільну точку.
2) Пряма $ON$ проходить через центр $O$; на ній по обидва боки від точки $O$ є по одній такій точці (точки $B$ і $C$ на малюнку). Отже, пряма має з колом дві спільні точки.
Відповідь: 1) одну;
2) дві.
507. Накресліть коло та проведіть у ньому діаметр $AB$ і хорду $AC$. Знайдіть градусну міру кута $ACB$.
Розв'язок:
Проводимо коло із центром $O$, діаметр $AB$ і хорду $AC$; сполучаємо точки $C$ і $B$.
Діаметр з будь-якої точки кола видно під прямим кутом. Тому $\angle ACB = 90^\circ$.
Відповідь: $90^\circ$.
508. Накресліть коло та проведіть у ньому діаметр $CD$ і хорду $DN$. Перевірте за допомогою косинця та транспортира, що кут $DNC$ – прямий.
Розв'язок:
Проводимо коло із центром $O$, діаметр $CD$ і хорду $DN$; сполучаємо точки $N$ і $C$.
Прикладаємо косинець вершиною прямого кута до точки $N$ так, щоб одна його сторона пішла вздовж $ND$, — друга сторона піде вздовж $NC$. Транспортир теж показує $90^\circ$. Отже, $\angle DNC = 90^\circ$. Так і має бути: діаметр з будь-якої точки кола видно під прямим кутом.
509. У крузі взято довільну точку, відмінну від центра. Скільки діаметрів і скільки хорд круга проходять через цю точку?
Розв'язок:
Нехай $O$ — центр круга, $P$ — дана точка. Діаметр проходить через центр $O$, тому діаметр, що проходить через точку $P$, лежить на прямій $OP$. Через дві точки проходить лише одна пряма, тож такий діаметр один.
Будь-яка пряма, що проходить через точку $P$, перетинає коло, яке обмежує круг, у двох точках, тобто містить хорду, що проходить через $P$. Таких прямих безліч, тож і хорд безліч.
Відповідь: один діаметр і безліч хорд.
510. На колі, що обмежує круг, узято довільну точку $M$. Скільки діаметрів і скільки хорд круга проходять через цю точку?
Розв'язок:
Нехай $O$ — центр круга. Діаметр, що проходить через точку $M$ кола, лежить на прямій $MO$; така пряма одна, тож і діаметр один.
Сполучивши точку $M$ з будь-якою іншою точкою кола, отримаємо хорду, що проходить через $M$. Точок на колі безліч, тож і хорд безліч.
Відповідь: один діаметр і безліч хорд.