Сторінка 112
Взаємне розміщення графіків двох лінійних функцій
Додатковий матеріал. Для розв'язування багатьох задач цього пункту потрібно знати, що графіки функцій $y = k_1x + b_1$ і $y = k_2x + b_2$ паралельні тоді і тільки тоді, коли $k_1 = k_2$.
1. Яке взаємне розміщення графіків функцій:
1) $y = 5x - 4$ і $y = 5x + 7$;
2) $y = 7x - 11$ і $y = -7x + 11$;
3) $y = -5x$ і $y = -5x + 1$;
4) $y = 4x + 1$ і $y = -3x + 1$;
5) $y = 7x$ і $y = -\frac{1}{3}x$;
6) $y = 0{,}2x + 7$ і $y = \frac{1}{5}x - 13$?
Розв'язок:
Графіки двох різних лінійних функцій паралельні, якщо коефіцієнти при $x$ рівні $(k_1 = k_2)$, і перетинаються, якщо ці коефіцієнти різні $(k_1 \ne k_2)$.
1) $k_1 = 5$, $k_2 = 5$; $k_1 = k_2$ – графіки паралельні;
2) $k_1 = 7$, $k_2 = -7$; $k_1 \ne k_2$ – графіки перетинаються;
3) $k_1 = -5$, $k_2 = -5$; $k_1 = k_2$ – графіки паралельні;
4) $k_1 = 4$, $k_2 = -3$; $k_1 \ne k_2$ – графіки перетинаються;
5) $k_1 = 7$, $k_2 = -\frac{1}{3}$; $k_1 \ne k_2$ – графіки перетинаються;
6) $k_1 = 0{,}2$, $k_2 = \frac{1}{5} = 0{,}2$; $k_1 = k_2$ – графіки паралельні.
Відповідь: 1) паралельні;
2) перетинаються;
3) паралельні;
4) перетинаються;
5) перетинаються;
6) паралельні.
2. Серед функцій, які задано формулами $y = -1{,}6x + 3$, $y = 0{,}6x - 13$, $y = \frac{3}{5}x - 10$, $y = 1{,}6x$, $y = 5 - 1{,}6x$, виділіть ті функції, графіки яких:
1) паралельні графіку функції $y = 0{,}6x + 7$;
2) перетинають графік функції $y = -1{,}6x$.
Розв'язок:
Коефіцієнти при $x$ у даних функціях: $-1{,}6$; $0{,}6$; $\frac{3}{5} = 0{,}6$; $1{,}6$; $-1{,}6$.
1) У функції $y = 0{,}6x + 7$ коефіцієнт при $x$ дорівнює $0{,}6$. Такий самий коефіцієнт мають функції $y = 0{,}6x - 13$ і $y = \frac{3}{5}x - 10$ – їх графіки паралельні графіку функції $y = 0{,}6x + 7$.
2) У функції $y = -1{,}6x$ коефіцієнт при $x$ дорівнює $-1{,}6$. Інший коефіцієнт мають функції $y = 0{,}6x - 13$, $y = \frac{3}{5}x - 10$, $y = 1{,}6x$ – їх графіки перетинають графік функції $y = -1{,}6x$ (графіки функцій $y = -1{,}6x + 3$ і $y = 5 - 1{,}6x$ йому паралельні).
Відповідь: 1) $y = 0{,}6x - 13$, $y = \frac{3}{5}x - 10$;
2) $y = 0{,}6x - 13$, $y = \frac{3}{5}x - 10$, $y = 1{,}6x$.
3. Дано лінійну функцію $y = 3{,}5x - 2$. Задайте формулою яку-небудь лінійну функцію, графік якої:
1) паралельний графіку даної функції;
2) перетинає графік даної функції.
Розв'язок:
1) Коефіцієнт при $x$ має бути таким самим, $3{,}5$, а функція – іншою, наприклад, $y = 3{,}5x + 1$.
2) Коефіцієнт при $x$ має бути іншим, ніж $3{,}5$, наприклад, $y = x - 2$.
Відповідь: 1) наприклад, $y = 3{,}5x + 1$;
2) наприклад, $y = x - 2$.
4. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точки перетину графіків функцій:
1) $y = 3{,}1x - 2$ і $y = -1{,}9x + 8$;
2) $y = -\frac{1}{4}x + 5$ і $y = \frac{5}{4}x - 7$.
Розв'язок:
У точці перетину графіків значення $y$ обох функцій рівні, тому прирівняємо праві частини формул.
1) $3{,}1x - 2 = -1{,}9x + 8$
$3{,}1x + 1{,}9x = 8 + 2$
$5x = 10$
$x = 2$
$y = 3{,}1 \cdot 2 - 2 = 4{,}2$
Точка перетину: $(2; 4{,}2)$.
2) $-\frac{1}{4}x + 5 = \frac{5}{4}x - 7$
Помножимо обидві частини рівняння на $4$:
$-x + 20 = 5x - 28$
$-x - 5x = -28 - 20$
$-6x = -48$
$x = 8$
$y = -\frac{1}{4} \cdot 8 + 5 = 3$
Точка перетину: $(8; 3)$.
Відповідь: 1) $(2; 4{,}2)$;
2) $(8; 3)$.
5. Чи перетинаються графіки функцій:
1) $y = -6x + 9$ і $y = 2x - 7$;
2) $y = 0{,}5x - 3$ і $y = \frac{1}{2}x + 7$;
3) $y = x$ і $y = 8x - 14$;
4) $y = 4 - 1{,}2x$ і $y = -\frac{6}{5}x$?
Для графіків, які перетинаються, знайдіть координати точки перетину.
Розв'язок:
1) $k_1 = -6$, $k_2 = 2$; $k_1 \ne k_2$ – графіки перетинаються.
$-6x + 9 = 2x - 7$
$-6x - 2x = -7 - 9$
$-8x = -16$
$x = 2$
$y = 2 \cdot 2 - 7 = -3$
Точка перетину: $(2; -3)$.
2) $k_1 = 0{,}5$, $k_2 = \frac{1}{2} = 0{,}5$; $k_1 = k_2$ – графіки паралельні, тобто не перетинаються.
3) $k_1 = 1$, $k_2 = 8$; $k_1 \ne k_2$ – графіки перетинаються.
$x = 8x - 14$
$x - 8x = -14$
$-7x = -14$
$x = 2$
$y = 2$
Точка перетину: $(2; 2)$.
4) $k_1 = -1{,}2$, $k_2 = -\frac{6}{5} = -1{,}2$; $k_1 = k_2$ – графіки паралельні, тобто не перетинаються.
Відповідь: 1) так, $(2; -3)$;
2) ні;
3) так, $(2; 2)$;
4) ні.
6. Назвіть таке значення $k$, щоб графіки функцій:
1) $y = 12x - 7$ і $y = 9 - kx$ були паралельними;
2) $y = kx + 5$ і $y = \frac{4}{7}x - 9$ не перетиналися;
3) $y = -\frac{4}{7}x$ і $y = kx + 9$ перетиналися.
Розв'язок:
1) $y = 9 - kx$, тобто $y = -kx + 9$. Графіки паралельні, якщо коефіцієнти при $x$ рівні: $-k = 12$, $k = -12$.
2) Графіки не перетинаються, якщо вони паралельні: $k = \frac{4}{7}$; функції при цьому різні, бо $5 \ne -9$.
3) Графіки перетинаються, якщо коефіцієнти при $x$ різні: $k \ne -\frac{4}{7}$; наприклад, $k = 1$.
Відповідь: 1) $k = -12$;
2) $k = \frac{4}{7}$;
3) наприклад, $k = 1$; підходить будь-яке $k \ne -\frac{4}{7}$.