Сторінка 93
Лінійне рівняння з двома змінними
783. Назвіть рівняння з двома змінними. Які з них є лінійними?
1) $x^2 - 2xy = 7$;
2) $x - 2x^2 + 13 = 0$;
3) $5u - vt + 1 = 0$;
4) $x + 2y = -3$;
5) $ut - 15 = u^2t$;
6) $3m^2 - 9n^2 = 7$.
Розв'язок:
Рівняннями з двома змінними є 1), 4), 5), 6): у 1) і 4) змінні $x$ і $y$, у 5) – $u$ і $t$, у 6) – $m$ і $n$. У рівнянні 2) одна змінна $x$, у рівнянні 3) – три змінні $u$, $v$, $t$.
Лінійне рівняння з двома змінними має вигляд $ax + by = c$. Такий вигляд має лише рівняння 4) $x + 2y = -3$; у рівняннях 1), 5), 6) є квадрати змінних або добутки змінних.
Відповідь: рівняння з двома змінними – 1), 4), 5), 6); лінійне – 4).
784. Чи є рівняння з двома змінними лінійним:
1) $7x - y = 5$;
2) $x^2 + 2y = -3$;
3) $8x - 9y = 0$;
4) $xy + 7y = 8$;
5) $xy = 5$;
6) $x - y = 0$?
Розв'язок:
Лінійне рівняння з двома змінними має вигляд $ax + by = c$.
1) $7x - y = 5$ – так: $a = 7$, $b = -1$, $c = 5$;
2) $x^2 + 2y = -3$ – ні, є $x^2$;
3) $8x - 9y = 0$ – так: $a = 8$, $b = -9$, $c = 0$;
4) $xy + 7y = 8$ – ні, є добуток $xy$;
5) $xy = 5$ – ні, є добуток $xy$;
6) $x - y = 0$ – так: $a = 1$, $b = -1$, $c = 0$.
Відповідь: 1), 3), 6) – так;
2), 4), 5) – ні.
785. Чи є пара чисел $x = 2\frac{1}{3}$ і $y = 4\frac{2}{3}$ розв'язком рівняння $x + y = 7$? Знайдіть ще два розв'язки цього рівняння.
Розв'язок:
$2\frac{1}{3} + 4\frac{2}{3} = 6\frac{3}{3} = 7$ – рівність правильна, тому пара є розв'язком рівняння.
Нехай $x = 0$, тоді $0 + y = 7$, $y = 7$;
нехай $x = 3$, тоді $3 + y = 7$, $y = 4$.
Ще два розв'язки: $(0; 7)$ і $(3; 4)$.
Відповідь: так; наприклад, $(0; 7)$ і $(3; 4)$.
786. Які з пар чисел $(0; -3)$, $(2; -1)$, $(1{,}5; 0)$, $(7; 5)$ є розв'язками рівняння $2x - y = 3$?
Розв'язок:
$(0; -3)$: $2 \cdot 0 - (-3) = 3$ – так;
$(2; -1)$: $2 \cdot 2 - (-1) = 5$, $5 \ne 3$ – ні;
$(1{,}5; 0)$: $2 \cdot 1{,}5 - 0 = 3$ – так;
$(7; 5)$: $2 \cdot 7 - 5 = 9$, $9 \ne 3$ – ні.
Відповідь: $(0; -3)$ і $(1{,}5; 0)$.
787. Розв'язком яких рівнянь є пара $(1; 2)$:
1) $2x - y = 0$;
2) $x + 2y = 7$;
3) $13x - 6y = 1$;
4) $9x + 13y = 24$;
5) $7x - 5y = 3$;
6) $-6x + 5y = 4$?
Розв'язок:
Підставимо $x = 1$, $y = 2$:
1) $2 \cdot 1 - 2 = 0$ – так;
2) $1 + 2 \cdot 2 = 5$, $5 \ne 7$ – ні;
3) $13 \cdot 1 - 6 \cdot 2 = 1$ – так;
4) $9 \cdot 1 + 13 \cdot 2 = 35$, $35 \ne 24$ – ні;
5) $7 \cdot 1 - 5 \cdot 2 = -3$, $-3 \ne 3$ – ні;
6) $-6 \cdot 1 + 5 \cdot 2 = 4$ – так.
Відповідь: 1), 3), 6).
788. Які з пар $(1; 2)$, $(0; -1)$, $(2; 0)$ є розв'язками рівнянь:
1) $x - y = -1$;
2) $3x - y = 1$;
3) $2x + y = 4$;
4) $5x - 3y = 3$;
5) $x - 2y = 2$;
6) $7x + 2y = 3$?
Розв'язок:
1) $1 - 2 = -1$ – так;
$0 - (-1) = 1$ – ні;
$2 - 0 = 2$ – ні.
2) $3 \cdot 1 - 2 = 1$ – так;
$3 \cdot 0 - (-1) = 1$ – так;
$3 \cdot 2 - 0 = 6$ – ні.
3) $2 \cdot 1 + 2 = 4$ – так;
$2 \cdot 0 + (-1) = -1$ – ні;
$2 \cdot 2 + 0 = 4$ – так.
4) $5 \cdot 1 - 3 \cdot 2 = -1$ – ні;
$5 \cdot 0 - 3 \cdot (-1) = 3$ – так;
$5 \cdot 2 - 3 \cdot 0 = 10$ – ні.
5) $1 - 2 \cdot 2 = -3$ – ні;
$0 - 2 \cdot (-1) = 2$ – так;
$2 - 2 \cdot 0 = 2$ – так.
6) $7 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 11$ – ні;
$7 \cdot 0 + 2 \cdot (-1) = -2$ – ні;
$7 \cdot 2 + 2 \cdot 0 = 14$ – ні.
Відповідь: 1) $(1; 2)$;
2) $(1; 2)$, $(0; -1)$;
3) $(1; 2)$, $(2; 0)$;
4) $(0; -1)$;
5) $(0; -1)$, $(2; 0)$;
6) жодна.
789. Знайдіть три будь-яких розв'язки рівняння:
1) $x + y = 7$;
2) $x - y = -2$;
3) $2x - 3y = 4$.
Розв'язок:
Підставимо в рівняння довільне значення однієї змінної і знайдемо відповідне значення другої.
1) Якщо $x = 3$, то $3 + y = 7$, $y = 4$;
якщо $x = 4$, то $4 + y = 7$, $y = 3$;
якщо $x = 5$, то $5 + y = 7$, $y = 2$.
2) Якщо $x = 0$, то $0 - y = -2$, $y = 2$;
якщо $x = 1$, то $1 - y = -2$, $y = 3$;
якщо $x = 2$, то $2 - y = -2$, $y = 4$.
3) Якщо $y = 2$, то $2x - 6 = 4$, $2x = 10$, $x = 5$;
якщо $y = 0$, то $2x - 0 = 4$, $x = 2$;
якщо $y = 4$, то $2x - 12 = 4$, $2x = 16$, $x = 8$.
Відповідь: 1) наприклад, $(3; 4)$, $(4; 3)$, $(5; 2)$;
2) наприклад, $(0; 2)$, $(1; 3)$, $(2; 4)$;
3) наприклад, $(5; 2)$, $(2; 0)$, $(8; 4)$.
790. Складіть будь-яке лінійне рівняння, розв'язком якого є пара чисел:
1) $(-2; 3)$;
2) $(5; -1)$;
3) $(0; 4)$.
Розв'язок:
Візьмемо будь-яку ліву частину вигляду $ax + by$ і обчислимо її значення для даної пари – це число буде правою частиною рівняння.
1) $x + y$: $-2 + 3 = 1$, рівняння $x + y = 1$;
2) $x - y$: $5 - (-1) = 6$, рівняння $x - y = 6$;
3) $2x + y$: $2 \cdot 0 + 4 = 4$, рівняння $2x + y = 4$.
Відповідь: наприклад, 1) $x + y = 1$;
2) $x - y = 6$;
3) $2x + y = 4$.
791. Виразіть з рівняння $x - 3y = 7$ змінну $x$ через змінну $y$.
Розв'язок:
Перенесемо $-3y$ у праву частину рівняння, змінивши знак: $x = 3y + 7$.
Відповідь: $x = 3y + 7$.
792. Виразіть з рівняння $2x + y = 9$ змінну $y$ через змінну $x$.
Розв'язок:
Перенесемо $2x$ у праву частину рівняння, змінивши знак: $y = -2x + 9$.
Відповідь: $y = -2x + 9$.
793. З лінійного рівняння $3x - 4y = 12$ виразіть:
1) $y$ через $x$;
2) $x$ через $y$.
Розв'язок:
1) $3x - 4y = 12$
$-4y = -3x + 12$
$4y = 3x - 12$
$y = \frac{3x - 12}{4}$, тобто $y = 0{,}75x - 3$.
2) $3x - 4y = 12$
$3x = 4y + 12$
$x = \frac{4y + 12}{3}$.
Відповідь: 1) $y = \frac{3x - 12}{4}$;
2) $x = \frac{4y + 12}{3}$.
794. Виразіть з рівняння:
1) $5x - y = 10$ $y$ через $x$;
2) $7x + 5y = 0$ $x$ через $y$;
3) $25x - 2y = 8$ $y$ через $x$;
4) $3x + 8y = 12$ $x$ через $y$.
Розв'язок:
1) $5x - y = 10$
$-y = -5x + 10$
$y = 5x - 10$.
2) $7x + 5y = 0$
$7x = -5y$
$x = -\frac{5y}{7}$.
3) $25x - 2y = 8$
$-2y = -25x + 8$
$2y = 25x - 8$
$y = \frac{25x - 8}{2}$, тобто $y = 12{,}5x - 4$.
4) $3x + 8y = 12$
$3x = -8y + 12$
$x = \frac{12 - 8y}{3}$.
Відповідь: 1) $y = 5x - 10$;
2) $x = -\frac{5y}{7}$;
3) $y = 12{,}5x - 4$;
4) $x = \frac{12 - 8y}{3}$.
795. Виразіть з рівняння змінну $y$ через $x$. Користуючись виведеною формулою, знайдіть два будь-яких розв'язки рівняння:
1) $x + y = 32$;
2) $3x - y = 7{,}5$;
3) $5x + 2y = 12$;
4) $7y - 2x = 1$.
Розв'язок:
1) $y = 32 - x$.
Якщо $x = 0$, то $y = 32$;
якщо $x = 2$, то $y = 32 - 2 = 30$.
2) $-y = -3x + 7{,}5$
$y = 3x - 7{,}5$.
Якщо $x = 0$, то $y = -7{,}5$;
якщо $x = 3$, то $y = 3 \cdot 3 - 7{,}5 = 1{,}5$.
3) $2y = -5x + 12$
$y = \frac{12 - 5x}{2}$.
Якщо $x = 0$, то $y = \frac{12}{2} = 6$;
якщо $x = 2$, то $y = \frac{12 - 10}{2} = 1$.
4) $7y = 2x + 1$
$y = \frac{2x + 1}{7}$.
Якщо $x = 3$, то $y = \frac{6 + 1}{7} = 1$;
якщо $x = 10$, то $y = \frac{20 + 1}{7} = 3$.
Відповідь: 1) $y = 32 - x$; наприклад, $(0; 32)$, $(2; 30)$;
2) $y = 3x - 7{,}5$; наприклад, $(0; -7{,}5)$, $(3; 1{,}5)$;
3) $y = \frac{12 - 5x}{2}$; наприклад, $(0; 6)$, $(2; 1)$;
4) $y = \frac{2x + 1}{7}$; наприклад, $(3; 1)$, $(10; 3)$.
796. Виразивши в рівнянні змінну $y$ через $x$ або $x$ через $y$, знайдіть три будь-яких розв'язки рівняння:
1) $x - 3y = -7$;
2) $2x - y = 18$;
3) $2x - 7y = 8$;
4) $7x + 3y = -9$.
Розв'язок:
1) $x = 3y - 7$.
Якщо $y = 0$, то $x = -7$;
якщо $y = 3$, то $x = 9 - 7 = 2$;
якщо $y = 4$, то $x = 12 - 7 = 5$.
2) $-y = -2x + 18$
$y = 2x - 18$.
Якщо $x = 0$, то $y = -18$;
якщо $x = 1$, то $y = 2 - 18 = -16$;
якщо $x = 9$, то $y = 18 - 18 = 0$.
3) $2x = 7y + 8$
$x = \frac{7y + 8}{2}$.
Якщо $y = 0$, то $x = \frac{8}{2} = 4$;
якщо $y = 2$, то $x = \frac{14 + 8}{2} = 11$;
якщо $y = -2$, то $x = \frac{-14 + 8}{2} = -3$.
4) $3y = -7x - 9$
$y = \frac{-7x - 9}{3}$.
Якщо $x = 0$, то $y = \frac{-9}{3} = -3$;
якщо $x = 3$, то $y = \frac{-21 - 9}{3} = -10$;
якщо $x = -3$, то $y = \frac{21 - 9}{3} = 4$.
Відповідь: 1) наприклад, $(-7; 0)$, $(2; 3)$, $(5; 4)$;
2) наприклад, $(0; -18)$, $(1; -16)$, $(9; 0)$;
3) наприклад, $(4; 0)$, $(11; 2)$, $(-3; -2)$;
4) наприклад, $(0; -3)$, $(3; -10)$, $(-3; 4)$.