Сторінка 81
Функція. Область визначення та область значень функції.
Способи задання функцій.
Функціональна залежність між величинами як математична модель реальних процесів
694. Які з наведених залежностей є функціями? Назвіть для них аргумент і функцію від цього аргументу:
1) $m = 7n + 5$;
2) $x = 5y^2 + 3y$;
3) $xy + x - y = 0$;
4) $5x = 9y^2 + 4y$;
5) $t = 7u - 5u^2 + 9u^3$;
6) $\frac{m}{n} + \frac{n}{m} - 1 = 0$;
7) $abc = 1$;
8) $y = 7x^2 + x - 5y^2$;
9) $a = b + 1$.
Розв'язок:
Залежність є функцією, якщо кожному значенню незалежної змінної (аргументу) відповідає єдине значення залежної змінної.
1) $m = 7n + 5$ – функція: аргумент $n$, функція $m$.
2) $x = 5y^2 + 3y$ – функція: аргумент $y$, функція $x$.
3) $xy + x - y = 0$
$xy - y = -x$
$y(x - 1) = -x$
Якщо $x = 1$, то маємо $0 = -1$ – рівність хибна; якщо $x \ne 1$, то $y = \frac{x}{1 - x}$.
Кожному значенню $x \ne 1$ відповідає єдине значення $y$ – функція: аргумент $x$, функція $y$.
4) $5x = 9y^2 + 4y$, тобто $x = \frac{9y^2 + 4y}{5}$ – функція: аргумент $y$, функція $x$.
5) $t = 7u - 5u^2 + 9u^3$ – функція: аргумент $u$, функція $t$.
6) Дроби $\frac{m}{n}$ і $\frac{n}{m}$ мають однаковий знак, а їх добуток дорівнює $1$. Якщо вони додатні, то один із них не менший за $1$, тому їх сума більша за $1$; якщо від'ємні, то їх сума від'ємна. Отже, рівність не справджується для жодних значень $m$ і $n$ – це не функція.
7) $abc = 1$ – у рівності три змінні. Наприклад, якщо $a = 1$, то $bc = 1$, і підходять $b = 1$, $c = 1$ або $b = 2$, $c = 0{,}5$ – значенню однієї змінної відповідає не єдине значення іншої. Це не функція.
8) $y = 7x^2 + x - 5y^2$ – змінна $y$ є в обох частинах. Якщо $x = 0$, то $y = -5y^2$, $y(1 + 5y) = 0$, звідки $y = 0$ або $y = -0{,}2$ – одному значенню $x$ відповідають два значення $y$. Якщо $y = 0$, то $7x^2 + x = 0$, $x(7x + 1) = 0$, звідки $x = 0$ або $x = -\frac{1}{7}$ – і $x$ не є функцією від $y$. Це не функція.
9) $a = b + 1$ – функція: аргумент $b$, функція $a$.
Відповідь: функціями є 1), 2), 3), 4), 5), 9).
695. Чи залежить периметр рівностороннього трикутника від його сторони? Чи є периметр цього трикутника функцією від довжини сторони трикутника? Як можна задати цю функцію, якщо сторона трикутника дорівнює $a$?
Розв'язок:
У рівностороннього трикутника всі три сторони рівні, тому його периметр $P = 3a$ залежить від довжини сторони $a$. Кожному значенню $a$ відповідає єдине значення $P$, отже, периметр є функцією від довжини сторони. Цю функцію можна задати формулою $P = 3a$, де $a \gt 0$.
Відповідь: так; так; $P = 3a$.
696. Площа прямокутника зі сторонами $x$ см і $8$ см дорівнює $S$ см². Виразіть формулою залежність $S$ від $x$.
Розв'язок:
Площа прямокутника дорівнює добутку його сторін: $S = x \cdot 8$, тобто $S = 8x$.
Відповідь: $S = 8x$.
697. Автомобіль, рухаючись зі швидкістю $80$ км/год, проїжджає за $t$ год відстань $s$ км. Задайте формулою залежність $s$ від $t$.
Розв'язок:
Відстань дорівнює добутку швидкості на час: $s = 80t$.
Відповідь: $s = 80t$.
698. Площа квадрата зі стороною $x$ см дорівнює $S$ см². Визначте формулою залежність $S$ від $x$. Для значення аргументу $x = 2$; $3$; $7$; $12$ знайдіть відповідне значення функції $S$.
Розв'язок:
$S = x^2$.
Якщо $x = 2$, то $S = 2^2 = 4$;
якщо $x = 3$, то $S = 3^2 = 9$;
якщо $x = 7$, то $S = 7^2 = 49$;
якщо $x = 12$, то $S = 12^2 = 144$.
Відповідь: $S = x^2$; $4$; $9$; $49$; $144$.
699. Периметр прямокутника зі сторонами $7$ см і $x$ см дорівнює $P$ см. Визначте формулою залежність $P$ від $x$. Для значення аргументу $x = 7$; $8$; $11$ знайдіть відповідне значення $P$.
Розв'язок:
$P = 2(x + 7)$, тобто $P = 2x + 14$.
Якщо $x = 7$, то $P = 2 \cdot 7 + 14 = 28$;
якщо $x = 8$, то $P = 2 \cdot 8 + 14 = 30$;
якщо $x = 11$, то $P = 2 \cdot 11 + 14 = 36$.
Відповідь: $P = 2x + 14$; $28$; $30$; $36$.
700. Знайдіть значення функції, заданої формулою:
1) $y = 3x - 5$ для значень аргументу, що дорівнюють $-2$; $0$; $7$; $23$;
2) $y = -\frac{6}{x}$ для значень аргументу, що дорівнюють $-6$; $-3$; $2$; $6$; $12$;
3) $y = x^2 - 2x$ для значень аргументу, що дорівнюють $-2$; $0$; $1$; $4$.
Розв'язок:
1) Якщо $x = -2$, то $y = 3 \cdot (-2) - 5 = -11$;
якщо $x = 0$, то $y = 3 \cdot 0 - 5 = -5$;
якщо $x = 7$, то $y = 3 \cdot 7 - 5 = 16$;
якщо $x = 23$, то $y = 3 \cdot 23 - 5 = 64$.
2) Якщо $x = -6$, то $y = -\frac{6}{-6} = 1$;
якщо $x = -3$, то $y = -\frac{6}{-3} = 2$;
якщо $x = 2$, то $y = -\frac{6}{2} = -3$;
якщо $x = 6$, то $y = -\frac{6}{6} = -1$;
якщо $x = 12$, то $y = -\frac{6}{12} = -0{,}5$.
3) Якщо $x = -2$, то $y = (-2)^2 - 2 \cdot (-2) = 8$;
якщо $x = 0$, то $y = 0^2 - 2 \cdot 0 = 0$;
якщо $x = 1$, то $y = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1$;
якщо $x = 4$, то $y = 4^2 - 2 \cdot 4 = 8$.
Відповідь: 1) $-11$; $-5$; $16$; $64$;
2) $1$; $2$; $-3$; $-1$; $-0{,}5$;
3) $8$; $0$; $-1$; $8$.
701. Знайдіть значення функції, заданої формулою:
1) $y = \frac{8}{x}$ для значень аргументу, що дорівнюють $-16$; $-8$; $-1$; $2$; $4$;
2) $y = 5x - 4x^2$ для значень аргументу, що дорівнюють $-3$; $-1$; $0$; $2$.
Розв'язок:
1) Якщо $x = -16$, то $y = \frac{8}{-16} = -0{,}5$;
якщо $x = -8$, то $y = \frac{8}{-8} = -1$;
якщо $x = -1$, то $y = \frac{8}{-1} = -8$;
якщо $x = 2$, то $y = \frac{8}{2} = 4$;
якщо $x = 4$, то $y = \frac{8}{4} = 2$.
2) Якщо $x = -3$, то $y = 5 \cdot (-3) - 4 \cdot (-3)^2 = -51$;
якщо $x = -1$, то $y = 5 \cdot (-1) - 4 \cdot (-1)^2 = -9$;
якщо $x = 0$, то $y = 5 \cdot 0 - 4 \cdot 0^2 = 0$;
якщо $x = 2$, то $y = 5 \cdot 2 - 4 \cdot 2^2 = -6$.
Відповідь: 1) $-0{,}5$; $-1$; $-8$; $4$; $2$;
2) $-51$; $-9$; $0$; $-6$.