№ 718 Геометрія = № 49.23 Математика
У кожній клітинці прямокутної дошки розміром 2025 × 2027 клітинок сидить жук. За сигналом усі жуки переповзають на сусідні (по горизонталі або вертикалі) клітинки. Чи обов’язково при цьому залишиться вільна клітинка?
Розв'язок:
Розфарбуємо клітинки дошки у шаховому порядку у чорний і білий колір. Загальна кількість клітинок 2025⨯2027 — число непарне, отже, кількість чорних і білих клітинок різна. За сигналом жуки переповзають з чорної на білу або з білої на чорну клітинку. Нехай білих клітинок менше, ніж чорних. На чорні клітинки переповзуть лише жуки з білих клітинок, а їх менше, ніж чорних клітинок, тому принаймні одна чорна клітинка залишиться незайнятою.
Відповідь:
так.