№ 1035 Алгебра = № 43.24 Математика
Доведіть, що якщо n — натуральне число (n > 1), то число 4n − 3 не може бути квадратом натурального числа.
Розв'язок:
Припустимо, що 4n – 3 є квадратом натурального числа. Тоді 4n – 3 = а2; (2n)2 – 3 = a2. Звідси (2n)2 – а2 = 3; (2n – а)(2n + а) = 3. Дана рівність має місце для натуральних n лише тоді, коли $\begin{cases} 2^n – a = 1, \\ 2^n + a = 3. \end{cases}$ Почленно додавши рівняння системи, одержимо: 2 ∙ 2n = 4; 2n = 2, що можливо, лише коли n = 1, що суперечить умові.