№ 331 Алгебра = № 12.34 Математика
Умова:
Доведіть ознаку подільності на 4: натуральне число ділиться на 4 тоді і тільки тоді, коли число, записане його двома останніми цифрами, ділиться на 4.
Розв'язок:
Для того щоб довести ознаку подільності на 4, розглянемо будь-яке натуральне число N, яке можна записати у вигляді:
N=100⋅q+r
де q — це частина числа без двох останніх цифр, а r — число, утворене двома останніми цифрами числа N (тобто 0≤r<1000).
1. Необхідність (якщо число ділиться на 4, то дві останні цифри також діляться на 4)
Якщо число N ділиться на 4, тобто:
N=4⋅k для деякого цілого числа k,
то:
100⋅q+r=4⋅k.
Оскільки 100 ділиться на 4 (адже 100=4⋅25), то частина 100⋅q також ділиться на 4. Тому для того, щоб уся сума 100⋅q+r ділилася на 4, залишок r (дві останні цифри) також повинен ділитися на 4.
2. Достатність (якщо дві останні цифри діляться на 4, то все число також ділиться на 4)
Тепер припустимо, що дві останні цифри r діляться на 4, тобто:
r=4⋅m для деякого цілого числа m.
Тоді:
N=100⋅q+4⋅m=4⋅(25⋅q+m).
Отже, N ділиться на 4, оскільки воно є добутком 4 на ціле число (25⋅q+m).
Відповідь:
Число N ділиться на 4 тоді і тільки тоді, коли число, утворене його двома останніми цифрами r, ділиться на 4.