Завдання № 717

№ 717 Алгебра = № 32.48 Математика

Доведіть, що для будь-якого натурального значення n значення виразу (n² + n)(n + 2) ділиться на 6.  

Розв'язок:

(n² + n)(n + 2) = n³ + 2n² + n² + 2n =
= n(n + 1)(n + 2); 
n³ + 2n² + n² + 2n = n(n² + 2n + n + 2) =
= n((n² + 2n)(n + 2) = n(n(n + 2)+(n + 2)) =
= n(n + 2)(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) —
— це добуток трьох послідовних чисел, ділиться на 2 і 3, отже, ділиться і на 6.